تعریف ۷.۲: گسترش دادن فضا (مجموعه مولد / Spanning Set)

۱. درک شهودی و فیزیکی/هندسی

یک کارخانه تولید رنگ را در نظر بگیرید که سه رنگ پایه زرد، آبی و قرمز را دارد. اگر با ترکیب این سه رنگ بتوان تمام رنگ‌های ممکن را تولید کرد، این سه رنگ «مولد» فضای تمام رنگ‌ها هستند. در هندسه:

• آیا با دو بردار در $\mathbb{R}^3$ می‌توان به تمام نقاط فضا سفر کرد؟ خیر، فقط می‌توان روی یک صفحه حرکت کرد. پس دو بردار نمی‌توانند $\mathbb{R}^3$ را گسترش دهند.
• اما سه بردار غیرهم‌صفحه، کل فضای $\mathbb{R}^3$ را پوشش می‌دهند؛ پس $\mathbb{R}^3$ را گسترش می‌دهند.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

۳. کالبدشکافی شرایط ریاضی

برای اثبات اینکه یک لیست $v_1, \dots, v_m$ فضا را گسترش می‌دهد، باید نشان داد: ۱. از قبل می‌دانیم $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) \subseteq V$ (چون همه $v_j \in V$). ۲. بنابراین تنها کاری که باید انجام دهیم اثبات شمول معکوس است:

یعنی هر بردار دلخواه $v$ از فضا باید قابل نمایش به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای لیست باشد.

۴. مثال‌ها و غیرمثال‌ها

۵. تعبیر هندسی با مدل جئوجبرا

appName: 3d
width: 700
height: 450
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "Pt1 = (0,0,0)"
  - "Pt2 = (2, 0, 0)"
  - "v1 = Vector(Pt1, Pt2)"
  - "Pt3 = (0,0,0)"
  - "Pt4 = (0, 2, 0)"
  - "v2 = Vector(Pt3, Pt4)"
  - "Pt5 = (0,0,0)"
  - "Pt6 = (0, 0, 2)"
  - "v3 = Vector(Pt5, Pt6)"
  - "plane = Plane(z = 0)"
caption: "گسترش فضا در R3: دو بردار v1 و v2 تنها صفحه z=0 را پوشش می‌دهند، اما با افزودن v3 کل فضای سه‌بعدی گسترش می‌یابد"
explain:
  - "گستره دو بردار v1 و v2 تنها صفحه افقی z = 0 است و فضا را گسترش نمی‌دهند."
  - "بردار v3 در راستای محور z به صفحه اضافه شده و امکان حرکت در بعد سوم را فراهم می‌کند."
  - "ترکیب خطی این سه بردار، تمام نقاط فضای R3 را می‌سازد (مجموعه مولد R3)."

۶. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

• پیش‌نیاز: تعریف ۴.۲: گستره (Span)
• مثال مهم در ابعاد n: مثال ۸.۲: لیستی که Fn را گسترش می‌دهد
• ورود به بعد متناهی: تعریف ۹.۲: فضای برداری با بعد متناهی