یک لیست از چهار بردار متمایز در $\mathbb{F}^3$ پیدا کنید که گستره (Span) آن برابر با زیرفضای زیر باشد:

گام اول (بیان پارامتری عناصر زیرفضا): هر بردار $(x, y, z) \in U$ در شرط $z = -x - y$ صدق می‌کند. بنابراین شکل کلی هر بردار در $U$ عبارت است از:

با تفکیک متغیرهای آزاد $x$ و $y$:

این رابطه نشان می‌دهد که هر بردار از $U$ به صورت ترکیبی خطی از دو بردار زیر قابل نمایش است:

بنابراین $\operatorname{span}(u_1, u_2) = U$.

گام دوم (ساخت دو بردار متمایز جدید در $U$): چون زیرفضا نسبت به ترکیب خطی بسته است، هر ترکیب خطی از $u_1$ و $u_2$ نیز عضوی از $U$ خواهد بود. دو بردار جدید و متمایز می‌سازیم:

• بردار سوم را برابر مجموع $u_1$ و $u_2$ قرار می‌دهیم: $$u_3 = u_1 + u_2 = (1, 0, -1) + (0, 1, -1) = (1, 1, -2)$$ بررسی تعلق به $U$: $1 + 1 + (-2) = 0$ (صحیح است).
• بردار چهارم را برابر تفاضل $u_1$ و $u_2$ قرار می‌دهیم: $$u_4 = u_1 - u_2 = (1, 0, -1) - (0, 1, -1) = (1, -1, 0)$$ بررسی تعلق به $U$: $1 + (-1) + 0 = 0$ (صحیح است).

گام سوم (بررسی متمایز بودن چهار بردار): چهار بردار به دست آمده عبارتند از:

با مقایسه مؤلفه‌ای آشکار است که هیچ دو برداری از این چهار بردار با یکدیگر برابر نیستند، یعنی هر چهار بردار دوبه‌دو متمایزند.

گام چهارم (اثبات تساوی گستره با $U$ از طریق شمول دوطرفه): ۱. شمول $\operatorname{span}(v_1, v_2, v_3, v_4) \subseteq U$: چون $v_1, v_2, v_3, v_4 \in U$ و زیرفضای $U$ طبق تعریف زیرفضا نسبت به جمع و ضرب اسکالر بسته است، هر ترکیب خطی از این چهار بردار نیز در $U$ قرار دارد.

۲. شمول $U \subseteq \operatorname{span}(v_1, v_2, v_3, v_4)$: فرض کنید $u \in U$. در گام اول ثابت کردیم که هر عنصر از $U$ ترکیبی خطی از $v_1$ و $v_2$ است:

که مستقیماً ترکیبی خطی از کل لیست چهار عضوی است. پس $u \in \operatorname{span}(v_1, v_2, v_3, v_4)$.

بنابراین گستره لیست چهار بردار متمایز فوق دقیقاً برابر با $U$ است $\blacksquare$

• خلط مبحث میان «مجموعه مولد» و «پایه»: برخی تصور می‌کنند چون بعد زیرفضا برابر ۲ است، لیست مولد حتماً باید دقیقاً ۲ عضو داشته باشد. اما گستره می‌تواند شامل هر تعداد بردار متناهی (یا نامتناهی) باشد، به شرط آنکه بردارهای اضافه خود درون فضا باشند و استقلال خطی از بین برود ولی گستره حفظ شود.
• فراموشی شرط متمایز بودن: تکرار یک بردار (مثلاً قرار دادن بردار $(1, 0, -1)$ دو بار در لیست) شرط صورت سوال مبنی بر «چهار بردار متمایز» را نقض می‌کند.