پیام کلیدی قضیه در یک جمله

گستره هر لیست از بردارها، خود یک زیرفضای برداری معتبر است؛ و نه یک زیرفضای تصادفی، بلکه «کوچک‌ترین» زیرفضایی از کل فضا است که تک‌تک آن بردارها را در بر می‌گیرد (بستار خطی بردارها).

قضیه ۶.۲ کتاب آکسلر

گستره یک لیست از بردارها در $V$، کوچک‌ترین زیرفضای $V$ است که شامل همه بردارهای آن لیست می‌باشد.

اثبات به سبک آکسلر

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ لیستی از بردارها در فضای برداری $V$ باشد.

گام اول: اثبات زیرفضا بودن $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$

• وجود بردار صفر: با قرار دادن همه ضرایب برابر صفر داریم: $$0 = 0v_1 + 0v_2 + \dots + 0v_m$$ بنابراین $0 \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$.
• بسته بودن تحت جمع: فرض کنید $u, w \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$. بنا به تعریف، اسکالرهایی مانند $a_1, \dots, a_m$ و $c_1, \dots, c_m$ وجود دارند به طوری که: $$u = a_1 v_1 + \dots + a_m v_m, \quad w = c_1 v_1 + \dots + c_m v_m$$ با جمع این دو بردار و فاکتورگیری طبق اصول فضای برداری: $$u + w = (a_1 + c_1)v_1 + \dots + (a_m + c_m)v_m$$ چون $a_j + c_j \in \mathbb{F}$ است، $u + w$ نیز به صورت ترکیبی خطی از $v_1, \dots, v_m$ نوشته شده و متعلق به گستره است.
• بسته بودن تحت ضرب اسکالر: برای هر $\lambda \in \mathbb{F}$: $$\lambda u = \lambda (a_1 v_1 + \dots + a_m v_m) = (\lambda a_1)v_1 + \dots + (\lambda a_m)v_m$$ چون $\lambda a_j \in \mathbb{F}$، بردار $\lambda u \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$.
• پس $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$ یک زیرفضای معتبر از $V$ است.

گام دوم: شامل بودن بردارهای لیست برای هر $k \in \{1, \dots, m\}$، با قرار دادن $a_k = 1$ و بقیه ضرایب برابر صفر داریم:

$$v_k = 0v_1 + \dots + 1 v_k + \dots + 0v_m$$

پس هر بردار $v_k$ درون $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$ قرار دارد.

گام سوم: حداقل (کوچک‌ترین) بودن زیرفضا فرض کنید $U$ هر زیرفضایی از $V$ باشد که شامل همه بردارهای $v_1, \dots, v_m$ است ($v_j \in U$ برای هر $j$). چون $U$ زیرفضا است، تحت ضرب اسکالر بسته است؛ بنابراین برای هر $a_j \in \mathbb{F}$ داریم $a_j v_j \in U$. همچنین چون $U$ تحت جمع بسته است، مجموع آن‌ها نیز در $U$ است:

$$a_1 v_1 + \dots + a_m v_m \in U$$

این یعنی هر ترکیب خطی از $v_1, \dots, v_m$ لزوماً عضوی از $U$ است؛ به عبارت دیگر:

$$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) \subseteq U$$

این نشان می‌دهد هیچ زیرفضای دربرگیرنده این بردارها نمی‌تواند کوچکتر از $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$ باشد. $\blacksquare$

دام مفهومی

• تفاوت با اجتماع زیرفضاها: اجتماع زیرفضاها لزوماً زیرفضا نیست! مثلاً اجتماع دو خط در صفحه، زیرفضا نیست. اما گستره اجتماع آن‌ها (یعنی اسپن دو بردار جهت) کل صفحه است که یک زیرفضا می‌باشد.
• حالت لیست تهی: گستره لیست تهی $\{0\}$ است، که واقعاً کوچک‌ترین زیرفضای هر فضای برداری است.