رفتن به متن
باغ ریاضی
مثال ۵.۲ گستره بردارها در فضاهای مختلف
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

مثال ۵.۲ گستره بردارها در فضاهای مختلف

#مثال#گستره#اسپن#فصل_۲#جبر_خطینسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

مثال ۵.۲: گستره بردارها در فضاهای مختلف

چکیده مفهومی

با نماد گستره می‌توانیم نتایج محاسباتی مثال ۳.۲ را با زبان مجموعه‌ای بازنویسی کنیم: تعلق داشتن یک بردار به اسپن یعنی قرار گرفتن آن در فضای پوشش داده شده، و عدم تعلق یعنی استقلال نسبی از آن جهت‌ها.

۱. متن مثال کتاب آکسلر

مثال ۵.۲ کتاب آکسلر

با توجه به نتایج به دست آمده در مثال ۳.۲، در فضای F3\mathbb{F}^3 داریم:

(17,−4,2)∈span⁡((2,1,−3),(1,−2,4))(17, -4, 2) \in \operatorname{span}\big((2, 1, -3), (1, -2, 4)\big)

و همچنین:

(17,−4,5)∉span⁡((2,1,−3),(1,−2,4))(17, -4, 5) \notin \operatorname{span}\big((2, 1, -3), (1, -2, 4)\big)

۲. اصطلاح‌شناسی: گستره در برابر پوشش خطی (Linear Span)

آکسلر یادآور می‌شود:

برخی از ریاضی‌دانان از اصطلاح «پوشش خطی (Linear Span)» استفاده می‌کنند که دقیقاً همان معنای گستره (Span) را دارد.

در ادبیات ریاضی فارسی دانشگاهی نیز:

  • واژگان «گستره»، «پوشش خطی» و «اسپن» مترادف یکدیگرند.
  • هرگاه گفته شود «مجموعه بردارها فضا را پوشش می‌دهند» یا «اسپن می‌کنند»، منظور مساوی بودن گستره آن‌ها با کل فضاست.

۳. بررسی مثال‌های تکمیلی در فضاهای مختلف

الف) گستره در فضای چندجمله‌ای‌ها

در فضای P(R)\mathcal{P}(\mathbb{R}):

  • span⁡(1,x)={a+bx:a,b∈R}=P1(R)\operatorname{span}(1, x) = \{a + bx : a, b \in \mathbb{R}\} = \mathcal{P}_1(\mathbb{R}) (فضای خطوط مستقیم و توابع درجه یک).
  • چندجمله‌ای 3−5x∈span⁡(1,x)3 - 5x \in \operatorname{span}(1, x).
  • چندجمله‌ای x2∉span⁡(1,x)x^2 \notin \operatorname{span}(1, x) زیرا هیچ ترکیب خطی از 11 و xx توان دو را نمی‌سازد.

ب) گستره یک بردار در R2\mathbb{R}^2

اگر v=(1,2)v = (1, 2) باشد:

span⁡(v)={c(1,2):c∈R}={(c,2c):c∈R}\operatorname{span}(v) = \{c(1, 2) : c \in \mathbb{R}\} = \{(c, 2c) : c \in \mathbb{R}\}

این مجموعه معادله خط y=2xy = 2x در صفحه مختصات است که از مبدا می‌گذرد.

۴. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۳

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • مثال ۳.۲ ترکیب خطی در R3
    پیش‌نمایش

    مثال ۳.۲: ترکیب خطی در R3\mathbb{R}^3

    چکیده مفهومی

    با حل دو دستگاه معادلات ساده در R3\mathbb{R}^3 نشان می‌دهیم که یک بردار می‌تواند به راحتی در صفحه تولیدشده توسط دو بردار دیگر قرار گیرد (ترکیب خطی باشد) یا کاملاً از آن صفحه بیرون بزند (ترکیب خطی نباشد).

  • تعریف ۴.۲ گستره (Span)
    پیش‌نمایش

    تعریف ۴.۲: گستره (Span)

    چکیده مفهومی

    گستره یا اسپن (Span) یک لیست از بردارها، «قلمرو نفوذ» یا «تمام بردارهایی» است که می‌توان با ایجاد هرگونه ترکیب خطی از آن بردارها ساخت.

  • قضیه ۶.۲ گستره کوچکترین زیرفضای شامل لیست بردارهاست
    پیش‌نمایش

    قضیه ۶.۲: گستره کوچکترین زیرفضای شامل لیست بردارهاست

    پیام کلیدی قضیه در یک جمله

    گستره هر لیست از بردارها، خود یک زیرفضای برداری معتبر است؛ و نه یک زیرفضای تصادفی، بلکه «کوچک‌ترین» زیرفضایی از کل فضا است که تک‌تک آن بردارها را در بر می‌گیرد (بستار خطی بردارها).

ارجاعات به این یادداشت ۱

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

حالت ارائه