مثال ۳.۲: ترکیب خطی در
چکیده مفهومی
با حل دو دستگاه معادلات ساده در نشان می‌دهیم که یک بردار می‌تواند به راحتی در صفحه تولیدشده توسط دو بردار دیگر قرار گیرد (ترکیب خطی باشد) یا کاملاً از آن صفحه بیرون بزند (ترکیب خطی نباشد).
۱. صورت دقیق مثال کتاب آکسلر
مثال ۳.۲ کتاب آکسلر
دو بردار زیر را در در نظر بگیرید:
۱. بردار یک ترکیب خطی از و است، زیرا:
۲. بردار یک ترکیب خطی از و نیست، زیرا هیچ اسکالرهایی مانند وجود ندارند به طوری که:
۲. کالبدشکافی و حل گام‌به‌گام محاسباتی
بررسی حالت اول: بردار
می‌خواهیم ضرایب را بیابیم به طوری که:
این تساوی برداری به دستگاه معادلات زیر منجر می‌شود:
2a_1 + a_2 = 17 & \text{(معادله ۱)} \\ a_1 - 2a_2 = -4 & \text{(معادله ۲)} \\ -3a_1 + 4a_2 = 2 & \text{(معادله ۳)} \end{cases}$$ * از معادله (۲) داریم: $a_1 = 2a_2 - 4$. * با جایگذاری در معادله (۱): $$2(2a_2 - 4) + a_2 = 17 \implies 4a_2 - 8 + a_2 = 17 \implies 5a_2 = 25 \implies a_2 = 5$$ * بنابراین: $a_1 = 2(5) - 4 = 6$. * حالا بررسی معادله (۳) با این مقادیر: $$-3(6) + 4(5) = -18 + 20 = 2$$ معادله سوم نیز برقرار است! دستگاه سازگار است و جواب یکتای $a_1 = 6, a_2 = 5$ به دست می‌آید. --- ### بررسی حالت دوم: بردار $(17, -4, 5)$ تنها مولفه سوم تغییر کرده است (به جای ۲، عدد ۵ قرار گرفته): $$\begin{cases} 2a_1 + a_2 = 17 \\ a_1 - 2a_2 = -4 \\ -3a_1 + 4a_2 = 5 \end{cases}$$ دو معادله اول مجدداً مقادیر یکتای $a_1 = 6$ و $a_2 = 5$ را تحمیل می‌کنند. اما وقتی این مقادیر را در معادله سوم قرار می‌دهیم: $$-3(6) + 4(5) = -18 + 20 = 2 \neq 5$$ تناقض $2 = 5$ حاصل می‌شود! یعنی دستگاه هیچ جوابی ندارد. پس بردار $(17, -4, 5)$ هرگز ترکیب خطی $v_1$ و $v_2$ نیست. --- ## ۳. تحلیل هندسی و مدل جئوجبرا * دو بردار $v_1$ و $v_2$ در $\mathbb{R}^3$ بر یک صفحه مشخص گذرنده از مبدا قرار دارند. * بردار $(17, -4, 2)$ دقیقاً روی همین صفحه واقع شده است. * بردار $(17, -4, 5)$ با وجود داشتن دو مولفه اول یکسان، در بعد سوم به اندازه ۳ واحد از صفحه بیرون زده و در فضا شناور است؛ از این رو با هیچ ترتیبی از گام‌های روی این صفحه نمی‌توان به آن رسید. ```geogebra appName: 3d width: 700 height: 450 showToolBar: false showAlgebraInput: true showMenuBar: false commands: - "Pt1 = (0,0,0)" - "Pt2 = (2, 1, -3)" - "v1 = Vector(Pt1, Pt2)" - "Pt3 = (0,0,0)" - "Pt4 = (1, -2, 4)" - "v2 = Vector(Pt3, Pt4)" - "plane = Plane((0,0,0), (2, 1, -3), (1, -2, 4))" - "Pt5 = (0,0,0)" - "Pt6 = (17, -4, 2)" - "w1 = Vector(Pt5, Pt6)" - "Pt7 = (0,0,0)" - "Pt8 = (17, -4, 5)" - "w2 = Vector(Pt7, Pt8)" caption: "تجسم ترکیب خطی در R3: بردار w1 روی صفحه span(v1, v2) قرار دارد و w2 از صفحه بیرون زده است" explain: - "صفحه خاکستری گستره دو بردار v1 و v2 را نشان می‌دهد." - "بردار w1 دقیقاً روی این صفحه واقع شده است (w1 = 6*v1 + 5*v2)." - "بردار w2 با تغییر جزئی در مؤلفه سوم از صفحه خارج شده و ترکیب خطی v1 و v2 نیست." ``` --- ## ۴. ارتباطات و پیوندهای اتمیک * **مفهوم پایه‌ای:** [[03-Chapter-2/03.1-Span-and-Linear-Independence/تعریف ۲.۲ ترکیب خطی|تعریف ۲.۲: ترکیب خطی]] * **ارتباط با گستره:** [[03-Chapter-2/03.1-Span-and-Linear-Independence/تعریف ۴.۲ گستره (Span)|تعریف ۴.۲: گستره (Span)]] * **مثال گستره:** [[03-Chapter-2/03.1-Span-and-Linear-Independence/مثال ۵.۲ گستره بردارها در فضاهای مختلف|مثال ۵.۲: گستره بردارها در فضاهای مختلف]]