فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ یک لیست از بردارها در $V$ است. برای هر $k \in \{1, \dots, m\}$، فرض کنید

نشان دهید:

گام اول (اثبات شمول اول: $\operatorname{span}(w_1, \dots, w_m) \subseteq \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$): طبق تعریف مسئله، برای هر $k \in \{1, \dots, m\}$ داریم:

بنابراین هر بردار $w_k$ صراحتاً یک ترکیب خطی از بردارهای $v_1, \dots, v_m$ است. نتیجه می‌شود که:

از آنجا که $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$ یک زیرفضا است (طبق قضیه ۶.۲ آکسلر) و نسبت به تمام ترکیب‌های خطی بسته است، گستره هر زیرمجموعه‌ای از آن نیز در آن قرار می‌گیرد:

گام دوم (اثبات شمول معکوس: $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) \subseteq \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m)$): اکنون باید نشان دهیم که هر بردار $v_k$ را می‌توان به صورت ترکیبی خطی از $w_1, \dots, w_m$ بیان کرد:

• برای $k = 1$: $$v_1 = w_1$$
• برای هر $k \in \{2, \dots, m\}$: $$w_k - w_{k-1} = (v_1 + \dots + v_{k-1} + v_k) - (v_1 + \dots + v_{k-1}) = v_k$$ یعنی: $$v_k = w_k - w_{k-1} = 1 \cdot w_k + (-1) \cdot w_{k-1}$$ بنابراین به ازای هر $k \in \{1, \dots, m\}$، بردار $v_k$ ترکیبی خطی از بردارهای $w_1, \dots, w_m$ است. در نتیجه: $$v_k \in \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m) \quad (\forall k \in \{1, \dots, m\})$$ چون تمام مولدهای گستره سمت چپ در گستره سمت راست قرار دارند، هر ترکیب خطی از آن‌ها نیز در گستره سمت راست خواهد بود: $$\operatorname{span}(v_1, \dots, v_m) \subseteq \operatorname{span}(w_1, \dots, w_m)$$

گام سوم (نتیجه‌گیری): از برقراری همزمان دو شمول گام اول و دوم، تساوی دقیق مجموعه‌ها حاصل می‌شود:

• تک‌بعدی دیدن اثبات: اثبات اینکه $w_k$ ترکیبی از $v_i$ها است تنها نیمی از نمره را دارد! برای اثبات تساوی دو فضا همیشه باید بازگشت‌پذیری رابطه جبری را با صراحت نشان دهید.
• استفاده غیرضروری از ماتریس‌ها: برخی دانشجویان ماتریس تبدیل بالا‌مثلثی با درایه‌های ۱ روی قطر تشکیل داده و از دترمینان آن استفاده می‌کنند. رویکرد آکسلر کاملاً ماتریس‌پرهیز (Matrix-free) است؛ بیان صریح رابطه $v_k = w_k - w_{k-1}$ خالص‌ترین و اصیل‌ترین برهان جبری است.