فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ یک لیست از بردارها در $V$ است. برای هر $k \in \{1, \dots, m\}$، فرض کنید

نشان دهید لیست $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی است اگر و فقط اگر لیست $w_1, \dots, w_m$ مستقل خطی باشد.

جهت اول ($\implies$): اگر $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی باشد، آنگاه $w_1, \dots, w_m$ مستقل خطی است:

فرض کنید اسکالرهایی مانند $c_1, \dots, c_m \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که:

گام اول: جایگذاری تعاریف $w_k$:

گام دوم: فاکتورگیری بر حسب بردارهای $v_j$: هر بردار $v_j$ در تمام $w_k$هایی با $k \ge j$ ظاهر می‌شود. بنابراین:

گام سوم: اعمال فرض استقلال خطی $v_1, \dots, v_m$: چون $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی است، تمام ضرایب بالا باید صفر شوند:

گام چهارم: حل رو به عقب (Back-substitution):

• از آخرین رابطه: $c_m = 0$.
• جایگذاری در رابطه یکی مانده به آخر: $c_{m-1} + 0 = 0 \implies c_{m-1} = 0$.
• با تکرار این فرآیند رو به عقب، به دست می‌آید: $$c_m = c_{m-1} = \dots = c_2 = c_1 = 0$$ بنابراین لیست $w_1, \dots, w_m$ مستقل خطی است.

جهت دوم ($\impliedby$): اگر $w_1, \dots, w_m$ مستقل خطی باشد، آنگاه $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی است:

فرض کنید اسکالرهایی مانند $a_1, \dots, a_m \in \mathbb{F}$ وجود دارند به گونه‌ای که:

گام اول: بیان $v_k$ بر حسب $w_k$: طبق تمرین ۳ داریم:

گام دوم: جایگذاری در معادله و بازآرایی:

گروه‌بندی بر حسب بردارهای $w_k$:

گام سوم: اعمال فرض استقلال خطی $w_1, \dots, w_m$: چون لیست $w_1, \dots, w_m$ مستقل خطی است، تمامی ضرایب ترکیب خطی فوق باید صفر باشند:

گام چهارم: نتیجه‌گیری:

• از آخرین معادله: $a_m = 0$.
• از معادله قبلی: $a_{m-1} = a_m = 0$.
• با ادامه زنجیره: $$a_1 = a_2 = \dots = a_m = 0$$ بنابراین لیست $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی است.

با اثبات هر دو جهت، شرط لازم و کافی به طور کامل اثبات شد $\blacksquare$

• حل بدون استفاده از ماتریس: دستگاه حاصل در هر دو جهت مثلثی است (یکی بالا‌مثلثی و دیگری پایین‌مثلثی). در این حل تشریحی، روش جایگذاری بازگشتی (Back-substitution) بدون ارجاع به دترمینان ماتریس انجام شده که دقیقاً منطبق بر رویکرد ناب جبری آکسلر است.