اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, v_2, v_3, v_4$ فضای $V$ را گسترش دهد (Span کند)، آنگاه لیست

نیز $V$ را گسترش می‌دهد.

گام اول (نام‌گذاری بردارهای لیست جدید): بردارهای لیست جدید را نام‌گذاری می‌کنیم:

هدف اثبات تساوی $\operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4) = V$ است.

گام دوم (شمول اول: گستره جدید زیرمجموعه $V$ است): چون $v_1, v_2, v_3, v_4 \in V$ و فضای $V$ نسبت به تفریق و جمع برداری بسته است، داریم:

بنابراین هر ترکیب خطی از $u_1, u_2, u_3, u_4$ در $V$ قرار دارد:

گام سوم (شمول دوم: بازسازی بردارهای اصلی $v_i$ بر حسب $u_i$): اکنون نشان می‌دهیم هر یک از بردارهای $v_1, v_2, v_3, v_4$ در $\operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$ قرار دارند:

1. بردار $v_4$: $$v_4 = u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$$
2. بردار $v_3$: $$v_3 = (v_3 - v_4) + v_4 = u_3 + u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$$
3. بردار $v_2$: $$v_2 = (v_2 - v_3) + v_3 = u_2 + (u_3 + u_4) = u_2 + u_3 + u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$$
4. بردار $v_1$: $$v_1 = (v_1 - v_2) + v_2 = u_1 + (u_2 + u_3 + u_4) = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, u_3, u_4)$$

گام چهارم (نتیجه‌گیری نهایی): فرض مسئله این است که هر بردار $v \in V$ ترکیبی خطی از $v_1, v_2, v_3, v_4$ است:

با جایگذاری روابط گام سوم:

با بازآرایی ضرایب:

این رابطه صراحتاً نشان می‌دهد که هر بردار $v \in V$ ترکیبی خطی از $u_1, u_2, u_3, u_4$ است. در نتیجه:

با اثبات هر دو شمول، حکم اثبات می‌شود:

• اهمیت حیاتی بردار منفرد انتهایی ($v_4$): اگر به جای بردار چهارم $v_4$، عبارت $v_4 - v_1$ قرار داده می‌شد، حاصل جمع هر ۴ بردار برابر بردار صفر می‌شد: $$(v_1 - v_2) + (v_2 - v_3) + (v_3 - v_4) + (v_4 - v_1) = 0$$ در این حالت، لیست وابسته خطی شده و گستره آن حتماً زیرفضایی سره از $V$ می‌شد و حکم نقض می‌گردید. وجود $v_4$ به عنوان بردار پایه‌ای، زنجیره تلسکوپی را مهار کرده و امکان حل معکوس را فراهم می‌آورد.