فرض کنید $v_1, v_2, v_3, v_4$ در فضای برداری $V$ مستقل خطی است. ثابت کنید که لیست

نیز مستقل خطی است.

گام اول (شروع از معادله صفر با ضرایب اسکالر): فرض کنید $c_1, c_2, c_3, c_4 \in \mathbb{F}$ اسکالرهایی باشند به گونه‌ای که:

گام دوم (گروه‌بندی بر حسب بردارهای اولیه $v_i$): با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری و جابه‌جایی در فضای برداری، جملات را باز می‌کنیم:

فاکتورگیری بر حسب هر یک از بردارهای $v_1, v_2, v_3, v_4$:

گام سوم (اعمال فرض استقلال خطی $v_1, v_2, v_3, v_4$): طبق فرض مسئله، لیست $v_1, v_2, v_3, v_4$ مستقل خطی است. بنا به تعریف ۱۵.۲، تنها ترکیبی خطی از این بردارها که برابر با بردار صفر می‌شود، ترکیبی است که تمامی ضرایب آن صفر باشند. بنابراین باید داشته باشیم:

1. ضریب $v_1$: $$c_1 = 0$$
2. ضریب $v_2$: $$c_2 - c_1 = 0$$
3. ضریب $v_3$: $$c_3 - c_2 = 0$$
4. ضریب $v_4$: $$c_4 - c_3 = 0$$

گام چهارم (حل آبشاری دستگاه ضرایب): مقادیر را مرحله به مرحله جایگذاری می‌کنیم:

• از معادله اول: $c_1 = 0$.
• جایگذاری در معادله دوم: $c_2 - 0 = 0 \implies c_2 = 0$.
• جایگذاری در معادله سوم: $c_3 - 0 = 0 \implies c_3 = 0$.
• جایگذاری در معادله چهارم: $c_4 - 0 = 0 \implies c_4 = 0$.

گام پنجم (نتیجه‌گیری): نشان دادیم که تنها جواب ممکن برای معادله $c_1 (v_1 - v_2) + c_2 (v_2 - v_3) + c_3 (v_3 - v_4) + c_4 v_4 = 0$ جواب بدیهی است:

بنابراین لیست $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ در $V$ مستقل خطی است $\blacksquare$

• مقایسه با تمرین ۲: در تمرین ۲ نشان دادیم این تبدیل گستره را حفظ می‌کند، و در این تمرین نشان دادیم استقلال خطی را حفظ می‌کند. این دو ویژگی نشان می‌دهند که اگر بردارها پایه‌ای برای فضا باشند، بردارهای جدید نیز پایه‌ای برای همان فضا خواهند بود.
• اگر بردار آخر تفاضلی بود چه می‌شد؟ اگر به جای $v_4$ عبارت $v_4 - v_1$ بود، ضریب $v_1$ برابر $c_1 - c_4$ می‌شد و معادله $c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 1$ یک جواب غیربدیهی تولید می‌کرد که استقلال خطی را باطل می‌کرد. پس وجود $v_4$ تضمین‌کننده شروع زنجیره صفرها از $c_1 = 0$ است.