توضیح دهید چرا هیچ لیستی از شش چندجمله‌ای در $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ مستقل خطی وجود ندارد.

گام اول (معرفی لیست مولد استاندارد برای $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$): طبق تعریف فضای $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ (نماد ۱۲.۲ آکسلر)، هر چندجمله‌ای $p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

که در آن $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \in \mathbb{F}$ ضرایب اسکالر هستند. این رابطه نشان می‌دهد که هر عنصر از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ ترکیبی خطی از لیست چندجمله‌ای‌های زیر است:

بنابراین این لیست فضای $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ را گسترش می‌دهد:

گام دوم (تعیین طول لیست مولد): تعداد بردارها (چندجمله‌ای‌ها) در لیست مولد فوق برابر است با:

(شامل توان‌های $z^0, z^1, z^2, z^3, z^4$).

گام سوم (اعمال قضیه ۲۲.۲ آکسلر): طبق قضیه بنیادین ۲۲.۲ آکسلر:

«در یک فضای برداری با بعد متناهی، طول هر لیست مستقل خطی از بردارها کوچکتـر یا مسـاوی طول هر لیستی از بردارها است که فضا را گسترش می‌دهد.»

اگر فرض کنیم لیستی از ۶ چندجمله‌ای مانند $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6$ در $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ وجود داشته باشد که مستقل خطی باشد، آنگاه بنا به قضیه ۲۲.۲ باید داشته باشیم:

که این یک نامساوی ناممکن و تناقضی آشکار در حساب اعداد صحیح است.

گام چهارم (نتیجه‌گیری): بنابراین هیچ لیستی متشکل از ۶ چندجمله‌ای در $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ نمی‌تواند مستقل خطی باشد $\blacksquare$

• اشتباه گرفتن درجه با تعداد اعضای پایه: دانشجویان اغلب فراموش می‌کنند که توان صفر ($z^0 = 1$) نیز جزو چندجمله‌ای‌هاست. بنابراین فضای چندجمله‌ای‌های درجه حداکثر $m$ دارای مولدی به طول $m+1$ است نه $m$.
• استفاده از مفهوم بُعد پیش از زمان خود: در این مقطع از کتاب (بخش ۱.۲)، مفهوم «بعد فضا» (Dimension) هنوز تعریف نشده است (تعریف بعد در بخش ۲.۲ ارائه می‌شود). استدلال باید اکیداً بر پایه قضیه ۲۲.۲ (مقایسه طول لیست مستقل و مولد) باشد، نه صرفاً گفتن اینکه «چون بعد فضا ۵ است».