چکیده مفهومی

فضای $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ شامل تمام چندجمله‌ای‌هایی است که درجه آن‌ها از عدد مشخص $m$ فراتر نمی‌رود. این فضا بر خلاف کل $\mathcal{P}(\mathbb{F})$، یک فضای بعد-متناهی است و توسط لیست $1, z, \dots, z^m$ گسترش می‌یابد.

نماد ۱۲.۲ کتاب آکسلر

برای هر عدد صحیح نامنفی $m$، نماد $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ مجموعه همه چندجمله‌ای‌ها با ضرایب در $\mathbb{F}$ با درجه حداکثر $m$ را نشان می‌دهد:

$$\mathcal{P}_m(\mathbb{F}) = \{p \in \mathcal{P}(\mathbb{F}) : \deg p \le m\}$$

بنا به قرارداد $-\infty < m$، چندجمله‌ای صفر همواره در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ قرار دارد.

هشدارهای مهم

• تعداد اعضای پایه و بعد: دقت کنید که درجه فضا $m$ است، اما تعداد عناصر مولد $m+1$ است! زیرا جمله ثابت (توان صفر) را هم باید شمرد. مثلاً $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ توسط ۳ بردار $\{1, z, z^2\}$ تولید می‌شود.
• چندجمله‌ای‌های دقیقاً درجه $m$ زیرفضا نیستند: مجموعه $\{p : \deg p = m\}$ یک زیرفضا نیست! زیرا اولاً شامل صفر نیست، ثانیاً تحت جمع بسته نیست (مثلاً $(z^2 + z) + (-z^2) = z$ درجه از ۲ به ۱ افت می‌کند). اما $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ چون قید «حداکثر $m$» دارد، زیرفضا است.