توضیح دهید چرا هیچ لیستی از چهار چندجمله‌ای، $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ را گسترش نمی‌دهد (Span نمی‌کند).

گام اول (معرفی یک لیست مستقل خطی در $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$): لیست زیر از تک‌جمله‌ای‌ها را در $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ در نظر می‌گیریم:

نشان می‌دهیم این لیست مستقل خطی است: فرض کنید برای اسکالرهای $c_0, c_1, c_2, c_3, c_4 \in \mathbb{F}$ داشته باشیم:

در فضای چندجمله‌ای‌ها، عبارت سمت راست چندجمله‌ای صفر است (چندجمله‌ای که همه ضرایب آن صفر است). طبق تعریف برابری چندجمله‌ای‌ها، دو چندجمله‌ای برابرند اگر و فقط اگر ضرایب نظیر توان‌های یکسان آن‌ها با هم برابر باشند. بنابراین لزوماً:

پس لیست $(1, z, z^2, z^3, z^4)$ در $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ مستقل خطی است.

گام دوم (محاسبه طول لیست مستقل خطی): طول این لیست مستقل خطی برابر است با:

گام سوم (برهان خلف و اعمال قضیه ۲۲.۲ آکسلر): فرض خلف: فرض کنید لیستی متشکل از ۴ چندجمله‌ای مانند $q_1, q_2, q_3, q_4$ وجود داشته باشد به طوری که کل فضای $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ را گسترش دهد:

طول این لیست مولد فرضی برابر با ۴ است.

اکنون، در فضای برداری $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$:

• یک لیست مستقل خطی به طول ۵ داریم ($(1, z, z^2, z^3, z^4)$).
• یک لیست مولد فرضی به طول ۴ داریم ($(q_1, q_2, q_3, q_4)$).

طبق قضیه ۲۲.۲ آکسلر (طول هر لیست مستقل خطی کمتر مساوی طول هر لیست مولد است):

که این یک تناقض عددی آشکار است!

گام چهارم (نتیجه‌گیری): بنابراین فرض خلف باطل است و هیچ لیستی متشکل از چهار چندجمله‌ای نمی‌تواند فضای $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ را گسترش دهد $\blacksquare$

• اثبات استقلال خطی تک‌جمله‌ای‌ها: فراموش نکنید که ذکر دلیل مستقل بودن لیست $1, z, z^2, z^3, z^4$ برای استحکام برهان ضروری است؛ هرچند این واقعیت بدیهی به نظر می‌رسد، اما سنگ بنای استدلال تناقض است.
• پرهیز از ارجاع زودهنگام به بعد فضا: مانند تمرین قبل، نباید از مفهوم «بعد فضا» که هنوز در روند کتاب تدریس نشده استفاده شود؛ استناد به قضیه ۲۲.۲ فرمت استاندارد و دقیق علمی در این بخش است.