صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، تمرین ۲۰ بخش ۱.۲ و تمرین ۹ بخش ۳.۲)

بخش الف (قضیه ریشه مشترک): فرض کنید $p_0, p_1, \dots, p_m$ چندجمله‌ای‌هایی در فضای برداری $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ باشند به طوری که همگی در نقطه مشخصی مانند $z = 2$ صفر می‌شوند؛ یعنی:

$$\forall k \in \{0, 1, \dots, m\}: \quad p_k(2) = 0$$

ثابت کنید لیست چندجمله‌ای‌های $p_0, p_1, \dots, p_m$ در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ نمی‌تواند مستقل خطی باشد (حتماً وابسته خطی است).

بخش ب (قضیه درجات متمایز): فرض کنید $q_0, q_1, \dots, q_m \in \mathcal{P}(\mathbb{F})$ چندجمله‌ای‌هایی باشند به طوری که درجه هر چندجمله‌ای برابر با اندیس آن باشد؛ یعنی:

$$\forall k \in \{0, 1, \dots, m\}: \quad \deg(q_k) = k$$

ثابت کنید لیست $q_0, q_1, \dots, q_m$ در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ مستقل خطی است و یک پایه برای $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ تشکیل می‌دهد.

بخش ج (مسئله عددی آزمون): در فضای $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$، استقلال خطی سه چندجمله‌ای زیر را با استفاده از تعریف ترکیب خطی و مقایسه ضرایب بررسی کنید:

$$f_1(x) = 1 + x + x^2, \quad f_2(x) = 1 + 2x, \quad f_3(x) = x^2 - x$$

اثبات کامل و موشکافانه

حل بخش الف: اثبات وابستگی خطی با قید ریشه مشترک

روش اول: با تکیه بر ساختار جبری زیرفضا و قضیه بعد مجموعه زیر را در نظر بگیرید:

$$U = \big\{ p \in \mathcal{P}_m(\mathbb{F}) : p(2) = 0 \big\}$$

طبق قضیه تقسیم چندجمله‌ای‌ها (یا قضیه بزو)، اگر ۲ ریشه چندجمله‌ای $p$ باشد، آنگاه $x - 2$ عامل آن است:

$$p(x) = (x - 2) q(x)$$

چون $\deg(p) \le m$، درجه $q(x)$ حداکثر می‌تواند $m - 1$ باشد؛ یعنی $q \in \mathcal{P}_{m-1}(\mathbb{F})$. نگاشت خطی $T: \mathcal{P}_{m-1}(\mathbb{F}) \to U$ با ضابطه $T(q) = (x - 2)q(x)$ یک یکریختی (ایزومورفیسم) بین $\mathcal{P}_{m-1}(\mathbb{F})$ و $U$ است. از این رو:

$$\dim U = \dim \mathcal{P}_{m-1}(\mathbb{F}) = (m - 1) + 1 = m$$

طبق فرض صورت مسئله، تمام $m+1$ چندجمله‌ای $p_0, p_1, \dots, p_m$ در زیرفضای $U$ قرار دارند. طبق قضیه ۲۲.۲ کتاب آکسلر (طول لیست مستقل خطی نمی‌تواند از طول لیست مولد بیشتر باشد)، حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی در $U$ برابر با $\dim U = m$ است. اما لیست ما شامل $m + 1$ بردار است. بنابراین این لیست نمی‌تواند مستقل خطی باشد و قطعاً وابسته خطی است. $\blacksquare$

---

حل بخش ب: اثبات استقلال خطی چندجمله‌ای‌های با درجات متمایز

فرض کنید:

$$c_0 q_0(x) + c_1 q_1(x) + \dots + c_m q_m(x) = 0 \quad (\forall x \in \mathbb{F}) \quad \text{--- (۱)}$$

که در آن $c_0, c_1, \dots, c_m \in \mathbb{F}$ هستند. باید ثابت کنیم $c_0 = c_1 = \dots = c_m = 0$.

گام اول (بررسی ضریب پیشرو): برای هر $k \in \{0, \dots, m\}$، چون $\deg(q_k) = k$ است، می‌توان نوشت:

$$q_k(x) = a_k x^k + (\text{جملات با توان‌های کوچک‌تر از } k), \quad a_k \neq 0$$

حال به عبارت سمت چپ رابطه (۱) نگاه می‌کنیم. بالاترین توان $x$ در این ترکیب خطی برابر با $m$ است که تنها و تنها از جمله $c_m q_m(x)$ تولید می‌شود. بنابراین ضریب توان $x^m$ در سمت چپ برابر است با:

$$c_m a_m$$

اما سمت راست تساوی، چندجمله‌ای همانی صفر است که تمام ضرایب آن صفرند. بنابراین:

$$c_m a_m = 0$$

چون $a_m \neq 0$ (زیرا درجه $q_m$ دقیقاً $m$ است)، نتیجه می‌شود:

$$c_m = 0$$

گام دوم (فرآیند بازگشتی/استقرایی): با قرار دادن $c_m = 0$ در رابطه (۱)، این جمله حذف می‌شود:

$$c_0 q_0(x) + \dots + c_{m-1} q_{m-1}(x) = 0$$

اکنون بالاترین توان $x$ برابر $m-1$ است که تنها در جمله $c_{m-1} q_{m-1}(x)$ ظاهر می‌شود با ضریب $c_{m-1} a_{m-1} = 0$. چون $a_{m-1} \neq 0$، پس $c_{m-1} = 0$. با تکرار این استدلال برای توان‌های $m-2, \dots, 1, 0$، به دست می‌آید:

$$c_m = c_{m-1} = \dots = c_1 = c_0 = 0$$

این یعنی تنها ترکیب خطی که منجر به چندجمله‌ای صفر می‌شود، ترکیب بدیهی است؛ بنابراین لیست $q_0, \dots, q_m$ مستقل خطی است. چون این لیست شامل $m+1$ بردار مستقل در فضای $(m+1)$ بعدی $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ است، طبق قضیه پایه (۳۹.۲ آکسلر)، این لیست پایه $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ نیز می‌باشد. $\blacksquare$

---

حل بخش ج: آزمون محاسباتی برای $f_1, f_2, f_3$

ترکیب خطی صفر را تشکیل می‌دهیم:

$$c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + c_3 f_3(x) = 0$$

جایگذاری ضابطه‌ها:

$$c_1(1 + x + x^2) + c_2(1 + 2x) + c_3(x^2 - x) = 0$$

بازآرایی جملات بر اساس توان‌های $1, x, x^2$:

$$(c_1 + c_2) \cdot 1 + (c_1 + 2c_2 - c_3) \cdot x + (c_1 + c_3) \cdot x^2 = 0$$

چون توابع پایه $\{1, x, x^2\}$ مستقل خطی هستند، ضریب هر توان باید مستقلاً صفر باشد:

$$\begin{cases} c_1 + c_2 = 0 &\implies c_2 = -c_1 \\ c_1 + c_3 = 0 &\implies c_3 = -c_1 \\ c_1 + 2c_2 - c_3 = 0 \end{cases}$$

مقادیر $c_2$ و $c_3$ را برحسب $c_1$ در معادله وسط قرار می‌دهیم:

$$c_1 + 2(-c_1) - (-c_1) = c_1 - 2c_1 + c_1 = 0 \cdot c_1 = 0$$

این معادله همواره برقرار است و هیچ قیدی بر $c_1$ اعمال نمی‌کند! به عنوان مثال، با انتخاب $c_1 = 1$ داریم:

$$c_1 = 1, \quad c_2 = -1, \quad c_3 = -1$$

بررسی درستی:

$$1 \cdot (1 + x + x^2) - 1 \cdot (1 + 2x) - 1 \cdot (x^2 - x) = 1 + x + x^2 - 1 - 2x - x^2 + x = 0$$

نتیجه: ضرایب ناصفر برای تولید صفر پیدا شدند؛ بنابراین این سه چندجمله‌ای وابسته خطی هستند. $\blacksquare$

تذکرات حیاتی در مسائل استقلال خطی چندجمله‌ای‌ها

1. اشتباه گرفتن بعد $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$: همیشه به یاد داشته باشید بعد این فضا $m+1$ است نه $m$ (زیرا شامل چندجمله‌ای‌های درجه صفر یعنی ثابت‌ها نیز هست).
2. استفاده نسنجیده از مشتق و رونسکین (Wronskian): اگرچه رونسکین در معادلات دیفرانسیل کاربرد دارد، در جبر خطی استاندارد آکسلر ترجیح و معیار بارم‌بندی بر مقایسه ضرایب پایه استاندارد $\{1, x, \dots, x^m\}$ است.
3. در بخش الف: برخی دانشجویان سعی می‌کنند مستقیماً دستگاه معادلات بنویسند، در حالی که استفاده از استدلال بعد زیرفضا ($m+1$ بردار در فضای $m$ بعدی) اثباتی ۳ خطی و بی‌نقص ارائه می‌دهد.