رفتن به متن
باغ ریاضی
تعریف ۱۱.۲ درجه یک چندجمله‌ای
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

تعریف ۱۱.۲ درجه یک چندجمله‌ای

#تعریف#مفهوم#فصل_۲#جبر_خطی#درجه_چندجمله‌اینسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

تعریف ۱۱.۲: درجه یک چندجمله‌ای (deg⁡p\deg p)

چکیده مفهومی

درجه یک چندجمله‌ای، بالاترین توان متغیر zz است که ضریب آن ناصفر باشد. برای چندجمله‌ای صفر مطلق، درجه به صورت −∞-\infty قرارداد می‌شود تا فرمول‌های جبری همواره سازگار بمانند.

۱. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

تعریف ۱۱.۲ کتاب آکسلر

یک چندجمله‌ای p∈P(F)p \in \mathcal{P}(\mathbb{F}) را دارای درجه mm می‌گوییم اگر اسکالرهایی مانند a0,a1,…,am∈Fa_0, a_1, \dots, a_m \in \mathbb{F} با am≠0a_m \neq 0 وجود داشته باشند به طوری که برای هر z∈Fz \in \mathbb{F}:

p(z)=a0+a1z+⋯+amzmp(z) = a_0 + a_1 z + \dots + a_m z^m

درجه یک چندجمله‌ای pp را با deg⁡p\deg p نشان می‌دهیم. همچنین چندجمله‌ای که یکساناً صفر است (تابع صفر)، دارای درجه −∞-\infty تعریف می‌شود:

deg⁡0=−∞\deg 0 = -\infty

۲. کالبدشکافی شرایط و چرایی قرارداد −∞-\infty

چرا درجه چندجمله‌ای صفر را −∞-\infty تعریف می‌کنیم و مثلاً 00 یا تعریف‌نشده نمی‌گذاریم؟

  • چندجمله‌ای‌های ثابت ناصفر: اگر p(z)=cp(z) = c که c≠0c \neq 0 است، داریم p(z)=c⋅z0p(z) = c \cdot z^0؛ پس طبق تعریف deg⁡p=0\deg p = 0. اگر درجه چندجمله‌ای صفر هم صفر بود، تفکیک میان ثوابت ناصفر و صفر مطلق ناممکن می‌شد.
  • سازگاری قاعده ضرب: رابطه بنیادین درجه ضرب دو چندجمله‌ای چنین است: deg⁡(p⋅q)=deg⁡p+deg⁡q\deg(p \cdot q) = \deg p + \deg q اگر p=0p = 0 باشد، p⋅q=0p \cdot q = 0 است. طبق قرارداد: −∞+deg⁡q=−∞=deg⁡0-\infty + \deg q = -\infty = \deg 0 فرمول بدون نیاز به استثنا قائل شدن برقرار می‌ماند!
  • سازگاری با نامساوی درجات: برای هر عدد صحیح نامنفی mm، همواره −∞≤m-\infty \le m برقرار است؛ این امر تضمین می‌کند چندجمله‌ای صفر عضو هر فضای Pm(F)\mathcal{P}_m(\mathbb{F}) باشد.

۳. جدول مقایسه‌ای درجه چندجمله‌ای‌ها

چندجمله‌ای p(z)p(z) ضرایب ناصفر deg⁡p\deg p وضعیت عضویت در P2(R)\mathcal{P}_2(\mathbb{R})
p(z)=3z4−2z+1p(z) = 3z^4 - 2z + 1 a4=3a_4 = 3 44 خیر
p(z)=5z2−7p(z) = 5z^2 - 7 a2=5a_2 = 5 22 بله
p(z)=8p(z) = 8 (ثابت ناصفر) a0=8a_0 = 8 00 بله
p(z)=0p(z) = 0 (چندجمله‌ای صفر) هیچ ضریب ناصفری ندارد −∞-\infty بله (چون −∞≤2-\infty \le 2)

۴. ارتباطات و پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۳

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • تعریف ۱۰.۲ فضای چندجمله‌ای‌ها P(F)
    پیش‌نمایش

    تعریف ۱۰.۲: فضای چندجمله‌ای‌ها P(F)\mathcal{P}(\mathbb{F})

    چکیده مفهومی

    یک چندجمله‌ای تابعی است که از ترکیب توان‌های نامنفی متغیر با ضرایبی از میدان ساخته می‌شود؛ و مجموعه تمام این توابع با اعمال جمع و ضرب نقطه‌ای، یک فضای برداری بسیار مهم به نام P(F)\mathcal{P}(\mathbb{F}) تشکیل می‌دهند.

  • نماد ۱۲.۲ فضای چندجمله‌ای‌های درجه حداکثر m یعنی Pm(F)
    پیش‌نمایش

    نماد ۱۲.۲: فضای چندجمله‌ای‌های درجه حداکثر mm یعنی Pm(F)\mathcal{P}_m(\mathbb{F})

    چکیده مفهومی

    فضای Pm(F)\mathcal{P}_m(\mathbb{F}) شامل تمام چندجمله‌ای‌هایی است که درجه آن‌ها از عدد مشخص mm فراتر نمی‌رود. این فضا بر خلاف کل P(F)\mathcal{P}(\mathbb{F})، یک فضای بعد-متناهی است و توسط لیست 1,z,…,zm1, z, \dots, z^m گسترش می‌یابد.

  • مثال ۱۴.۲ فضای P(F) با بعد نامتناهی است
    پیش‌نمایش

    مثال ۱۴.۲: فضای P(F)\mathcal{P}(\mathbb{F}) با بعد نامتناهی است

    چکیده مفهومی

    هر لیست متناهی از چندجمله‌ای‌ها دارای یک سقف درجه متناهی mm است و بنابراین هرگز نمی‌تواند توان بالاتر zm+1z^{m+1} را تولید کند؛ پس هیچ لیست متناهی قادر به اسپن کردن کل P(F)\mathcal{P}(\mathbb{F}) نیست.

ارجاعات به این یادداشت ۳

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

حالت ارائه