فرض کنید $p_0, p_1, \dots, p_m$ چندجمله‌ای‌هایی در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ باشند به طوری که

برای هر $k \in \{0, 1, \dots, m\}$. ثابت کنید لیست $p_0, p_1, \dots, p_m$ در $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ مستقل خطی نیست (یعنی وابسته خطی است).

گام اول (تعریف زیرفضای چندجمله‌ای‌های با ریشه در ۲): زیرمجموعه $U \subseteq \mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

طبق فرض صورت مسئله، برای هر $k \in \{0, 1, \dots, m\}$ داریم $p_k \in U$.

گام دوم (تحلیل جبری ساختار عناصر $U$ با قضیه فاکتورگیری): طبق الگوریتم تقسیم و قضیه فاکتور برای چندجمله‌ای‌ها: اگر $p \in \mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ و $p(2) = 0$ باشد، آنگاه چندجمله‌ای $z - 2$ مقسوم‌علیه $p(z)$ است؛ یعنی چندجمله‌ای یکتایی مانند $q(z)$ وجود دارد به طوری که:

از قوانین درجه چندجمله‌ای‌ها (تعریف ۱۱.۲ آکسلر):

چون $\deg(p) \le m$، نتیجه می‌شود که:

گام سوم (یافتن یک لیست مولد با طول $m$ برای زیرفضای $U$): می‌دانیم که فضای $\mathcal{P}_{m-1}(\mathbb{F})$ توسط لیست تک‌جمله‌ای‌های استاندارد زیر گسترش می‌یابد:

بنابراین هر چندجمله‌ای $q \in \mathcal{P}_{m-1}(\mathbb{F})$ به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

که در آن $a_0, \dots, a_{m-1} \in \mathbb{F}$. حال $p(z) = (z - 2) q(z)$ را باز می‌کنیم:

این رابطه صراحتاً نشان می‌دهد که لیست $m$تایی زیر:

زیرفضای $U$ را گسترش می‌دهد:

گام چهارم (شمارش بردارها و اعمال قضیه ۲۲.۲ آکسلر):

• زیرفضای $U$ دارای یک لیست مولد با طول دقیقاً $m$ است.
• لیست داده شده در مسئله عبارت است از $p_0, p_1, \dots, p_m$.
• تعداد بردارها در این لیست برابر است با: $$\text{طول لیست} = (m) - (0) + 1 = m + 1$$
• تمامی این $m+1$ بردار متعلق به زیرفضای $U$ هستند.

طبق قضیه بنیادین ۲۲.۲ آکسلر:

در هر فضای برداری (و در اینجا زیرفضای $U$)، طول هر لیست مستقل خطی کمتر یا مساوی طول هر لیست گسترش‌دهنده آن است.

اگر فرض کنیم لیست $p_0, p_1, \dots, p_m$ در $U$ مستقل خطی باشد، آنگاه بنا به قضیه ۲۲.۲ باید داشته باشیم:

که این یک تناقض عددی غیرممکن است ($1 \le 0$).

گام پنجم (نتیجه‌گیری): بنابراین لیست $p_0, p_1, \dots, p_m$ نمی‌تواند در $U$ مستقل خطی باشد؛ به این معنی که این بردارها وابسته خطی هستند. از آنجا که وابستگی خطی در یک زیرفضا عیناً به معنای وجود ضرایب ناصفر است که ترکیب خطی را صفر می‌کنند، این لیست در فضای بزرگ‌تر $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ نیز مستقل خطی نیست $\blacksquare$

• شمارش تعداد عناصر لیست: اندیس‌ها از $0$ تا $m$ هستند؛ بنابراین تعداد بردارها برابر با $m+1$ است نه $m$. این نکته کلیدی است که باعث می‌شود تعداد بردارها از طول مجموعه مولد ($m$) پیشی بگیرد.
• عدم نیاز به مفهوم بعد یا نگاشت خطی: در بسیاری از مراجع این تمرین با استفاده از بعد هسته عملگر تابعی ارزیابی در ۲ ($T(p) = p(2)$) و قضیه رتبه-پوچی حل می‌شود. اما با توجه به اینکه در بخش ۱.۲ هنوز نگاشت‌های خطی و بعد تدریس نشده‌اند، ارائه اثبات بالا از طریق فاکتورگیری و قضیه ۲۲.۲ بهترین، دقیق‌ترین و وفادارانه‌ترین شیوه به سرفصل‌های آکسلر است.