(الف) نشان دهید اگر $\mathbb{C}$ را به عنوان یک فضای برداری روی میدان اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ در نظر بگیریم، آنگاه لیست

مستقل خطی است.
(ب) نشان دهید اگر $\mathbb{C}$ را به عنوان یک فضای برداری روی میدان اعداد مختلط $\mathbb{C}$ در نظر بگیریم، آنگاه لیست

وابسته خطی است.

حل بخش (الف): $\mathbb{C}$ به عنوان فضای برداری روی $\mathbb{R}$

گام اول (شروع از رابطه استقلال خطی با اسکالرهای حقیقی): فرض کنید $a, b \in \mathbb{R}$ اعدادی حقیقی باشند به طوری که:

گام دوم (تفکیک به بخش‌های حقیقی و موهومی): عبارت فوق را با ضرب و گروه‌بندی ساده باز می‌کنیم:

چون $a, b \in \mathbb{R}$، اعداد $a + b$ و $a - b$ نیز اعدادی حقیقی هستند. یک عدد مختلط برابر صفر است اگر و تنها اگر بخش حقیقی و بخش موهومی آن هر دو صفر باشند:

گام سوم (حل دستگاه ضرایب): با جمع کردن این دو معادله:

با جایگذاری $a = 0$ در معادله اول:

بنابراین تنها جواب این معادله، جواب بدیهی $a = 0$ و $b = 0$ است. طبق تعریف ۱۵.۲، لیست $1 + i, 1 - i$ در فضای برداری $\mathbb{C}$ روی $\mathbb{R}$ مستقل خطی است.

حل بخش (ب): $\mathbb{C}$ به عنوان فضای برداری روی $\mathbb{C}$

گام اول (بررسی نسبت دو بردار به عنوان عناصر میدان): وقتی میدان اسکالرها خود $\mathbb{C}$ باشد، اسکالرها می‌توانند هر عدد مختلط دلخواهی باشند. نسبت دو بردار را محاسبه می‌کنیم:

عدد $i$ متعلق به میدان اسکالرها یعنی $\mathbb{C}$ است.

گام دوم (تشکیل رابطه وابستگی خطی غیربدیهی): رابطه به دست آمده نشان می‌دهد:

با انتقال به یک سمت:

گام سوم (نتیجه‌گیری وابستگی خطی): در ترکیب خطی بالا، ضرایب اسکالر عبارتند از:

هیچ‌یک از این ضرایب صفر نیستند ($c_1 \neq 0$ و $c_2 \neq 0$). طبق تعریف ۱۷.۲، این ترکیب خطی غیربدیهی اثبات می‌کند که لیست $1 + i, 1 - i$ در فضای برداری $\mathbb{C}$ روی $\mathbb{C}$ وابسته خطی است $\blacksquare$

• نادیده گرفتن میدان اسکالرها: استقلال یا وابستگی خطی یک مفهوم مطلق نیست، بلکه همواره نسبت به میدان زیرین سنجیده می‌شود. بردار $1+i$ مضرب مختلط $1-i$ هست ($i(1-i)$)، اما مضرب حقیقی آن نیست زیرا $i \notin \mathbb{R}$.
• دیدگاه بعد فضا: بعد $\mathbb{C}$ روی $\mathbb{R}$ برابر ۲ است (با پایه $1, i$)، لذا یک لیست ۲ عضوی می‌تواند مستقل باشد. اما بعد $\mathbb{C}$ روی خودش برابر ۱ است (با پایه $1$)، و طبق مثال ۲۳.۲ و قضیه ۲۲.۲ آکسلر، هیچ لیستی با بیش از ۱ بردار در یک فضای تک‌بعدی نمی‌تواند مستقل خطی باشد!