فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ در فضای برداری $V$ مستقل خطی است و $w \in V$. ثابت کنید اگر لیست

وابسته خطی باشد، آنگاه:

گام اول (بیان فرض وابستگی خطی به زبان ریاضی): طبق فرض مسئله، لیست $v_1 + w, \dots, v_m + w$ وابسته خطی است. بنا به تعریف ۱۷.۲ آکسلر، اسکالرهایی مانند $c_1, \dots, c_m \in \mathbb{F}$ وجود دارند که همگی همزمان صفر نیستند (حداقل یکی ناصفر است) به طوری که:

گام دوم (تفکیک و مرتب‌سازی جملات): با استفاده از ویژگی‌های توزیع‌پذیری و شرکت‌پذیری در فضای برداری:

با فاکتورگیری از بردار $w$:

گام سوم (اثبات ناصفر بودن مجموع ضرایب $S = \sum_{k=1}^m c_k$): فرض خلف: فرض کنید $c_1 + c_2 + \dots + c_m = 0$ باشد. در این صورت، ضریب بردار $w$ در معادله $(*)$ صفر می‌شود:

اما طبق فرض اولیه مسئله، لیست $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی است. طبق تعریف ۱۵.۲، تنها راه برقراری رابطه فوق این است که:

این نتیجه با فرض اولیه در گام اول (که حداقل یکی از $c_k$ها مخالف صفر است) در تناقض آشکار است! بنابراین فرض خلف باطل است و لزوماً داریم:

گام چهارم (استخراج بردار $w$ بر حسب بردارهای $v_k$): چون $S \in \mathbb{F}$ و $S \neq 0$ است، عدد $S$ وارون‌پذیر است. از معادله $(*)$ داریم:

با ضرب طرفین در $-S^{-1} = -\frac{1}{S}$:

گام پنجم (نتیجه‌گیری نهایی): ضرایب $-\frac{c_k}{S}$ همگی اسکالرهایی در میدان $\mathbb{F}$ هستند. رابطه بالا نشان می‌دهد که بردار $w$ ترکیبی خطی از بردارهای $v_1, \dots, v_m$ است. طبق تعریف ۴.۲ آکسلر:

• تقسیم نسنجیده بر مجموع ضرایب: بزرگ‌ترین خطای رایج در حل این تمرین، فرض ضمنی $c_1 + \dots + c_m \neq 0$ و تقسیم بر آن بدون اثبات برهان خلف است. اگر این بخش نوشته نشود، بخش عمده استدلال ریاضی مفقود است.
• عدم توجه به تناقض: تناقض گام سوم دقیقاً ناشی از استقلال خطی $v_1, \dots, v_m$ است. بدون استقلال خطی لیست اصلی، حکم مسئله لزوماً برقرار نخواهد بود.