عدد $t$ را پیدا کنید به طوری که لیست بردارها

در $\mathbb{R}^3$ مستقل خطی نباشد (یعنی وابسته خطی باشد).

گام اول (بررسی استقلال خطی دو بردار نخست): دو بردار اول را در نظر بگیرید:

اگر $v_2 = c v_1$ برای اسکلاری چون $c$، آنگاه از مؤلفه دوم باید داشته باشیم $-3 = c(1) \implies c = -3$. اما در مؤلفه اول: $c(3) = (-3)(3) = -9 \neq 2$. پس $v_2$ مضرب اسکالر $v_1$ نیست و هیچ‌یک نیز صفر نیستند. طبق تمرین ۴(ب)، لیست $(v_1, v_2)$ مستقل خطی است.

گام دوم (اعمال لم وابستگی خطی آکسلر): طبق لم وابستگی خطی (لم ۱۹.۲)، اگر لیستی وابسته خطی باشد و اولین بردار آن صفر نباشد، عنصری در لیست وجود دارد که در گستره بردارهای قبل از خود قرار دارد. چون $(v_1)$ مستقل است و $(v_1, v_2)$ نیز مستقل است، تنها عنصری که می‌تواند در گستره عناصر ماقبل خود قرار گیرد بردار سوم یعنی $v_3$ است. بنابراین لیست $(v_1, v_2, v_3)$ وابسته خطی است اگر و فقط اگر:

یعنی اسکالرهایی مانند $a, b \in \mathbb{R}$ وجود داشته باشند به طوری که:

گام سوم (حل دستگاه روابط جبری): معادله برداری فوق به دستگاه معادلات زیر برای هر مؤلفه تجزیه می‌شود:

از معادله مؤلفه دوم، $a$ را بر حسب $b$ به دست می‌آوریم:

این مقدار را در معادله مؤلفه اول جایگذاری می‌کنیم:

حال مقدار $a$ را محاسبه می‌کنیم:

گام چهارم (محاسبه مقدار $t$ و اعتبارسنجی): با داشتن مقادیر یکتای ضرایب $a = 3$ و $b = -2$، آن‌ها را در معادله مؤلفه سوم قرار می‌دهیم:

بررسی صحت نتیجه: اگر $t = 2$ باشد، ترکیب خطی زیر را تشکیل می‌دهیم:

ضرایب ترکیب خطی عبارتند از $(3, -2, -1)$ که هیچ‌کدام صفر نیستند؛ بنابراین بردارها وابسته خطی هستند.

مقدار مورد نظر برابر است با:

• استفاده از روش دترمینان: استفاده از دترمینان برای صفر کردن ماتریس $3 \times 3$ گرچه جواب عددی را می‌دهد، اما خارج از ساختار آموزشی فصل دوم کتاب آکسلر است که بر پایه مفهوم گستره و لم وابستگی خطی بنا شده است.
• اشتباهات علامتی در حل دستگاه: دقت در منفی بودن ضرایب (مانند $-3b$ در مؤلفه دوم) از بروز خطاهای رایج محاسباتی جلوگیری می‌کند.