رفتن به متن
باغ ریاضی
مثال ۱۸.۲ لیست‌های وابسته خطی
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

مثال ۱۸.۲ لیست‌های وابسته خطی

#مثال#وابستگی_خطی#فصل_۲#جبر_خطی#F3#تجسم_هندسی#جئوجبرانسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

مثال ۱۸.۲: لیست‌های وابسته خطی

چکیده مفهومی

با بررسی یک ترکیب خطی غیربدیهی در F3\mathbb{F}^3 و تحلیل پارامتری ضریب cc، شرایط دقیق عددی وابستگی خطی را آشکار می‌سازیم.

۱. متن مثال‌های کتاب آکسلر

۱) لیست وابسته در F3\mathbb{F}^3

مثال ۱۸.۲ (الف) کتاب آکسلر

لیست سه بردار زیر در F3\mathbb{F}^3 وابسته خطی است:

(2,3,1),(1,−1,2),(7,3,8)(2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, 8)

زیرا با ضرایب غیرصفر a1=2a_1 = 2، a2=3a_2 = 3 و a3=−1a_3 = -1 داریم:

2(2,3,1)+3(1,−1,2)+(−1)(7,3,8)=(0,0,0)2(2, 3, 1) + 3(1, -1, 2) + (-1)(7, 3, 8) = (0, 0, 0)

بررسی گام‌به‌گام مؤلفه‌ها:

  • مؤلفه اول: 2(2)+3(1)−7=4+3−7=02(2) + 3(1) - 7 = 4 + 3 - 7 = 0
  • مؤلفه دوم: 2(3)+3(−1)−3=6−3−3=02(3) + 3(-1) - 3 = 6 - 3 - 3 = 0
  • مؤلفه سوم: 2(1)+3(2)−8=2+6−8=02(1) + 3(2) - 8 = 2 + 6 - 8 = 0 چون همه ضرایب صفر نیستند (مثلاً ضریب بردار سوم −1≠0-1 \neq 0 است)، این لیست وابسته خطی است.

۲) تحلیل پارامتری ضریب cc

مثال ۱۸.۲ (ب) کتاب آکسلر

لیست زیر در F3\mathbb{F}^3:

(2,3,1),(1,−1,2),(7,3,c)(2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c)

وابسته خطی است اگر و تنها اگر c=8c = 8.

تحلیل و اثبات: می‌خواهیم ببینیم بردار سوم چه زمانی در گستره دو بردار اول قرار می‌گیرد:

(7,3,c)=x(2,3,1)+y(1,−1,2)(7, 3, c) = x(2, 3, 1) + y(1, -1, 2)

این تساوی منجر به دستگاه معادلات زیر می‌شود:

2x + y = 7 & (1) \\ 3x - y = 3 & (2) \\ x + 2y = c & (3) \end{cases}$$ * از جمع معادله (۱) و (۲): $$5x = 10 \implies x = 2$$ * با قرار دادن $x = 2$ در معادله (۱): $$2(2) + y = 7 \implies y = 3$$ * حال برای اینکه دستگاه سازگار باشد و بردار سوم در گستره دو بردار قبلی بنشیند، باید معادله سوم ارضا شود: $$c = x + 2y = 2 + 2(3) = 8$$ * نتیجه: اگر $c = 8$ باشد، بردار سوم در صفحه دو بردار اول قرار گرفته و لیست وابسته خطی است. اگر $c \neq 8$ باشد، بردار سوم از صفحه خارج شده و لیست سه تایی مستقل خطی خواهد بود! --- ## ۲. هشدارهای محاسباتی > [!WARNING] نکته امتحانی > هرگاه در یک مسئله تستی یا امتحانی پارامتری مجهول برای استقلال/وابستگی خطی دیدید، کافی است بررسی کنید که آیا بردار شامل پارامتر، ترکیب خطی سایر بردارها می‌شود یا خیر. --- ## ۳. تعبیر هندسی هم‌صفحه‌ای با مدل جئوجبرا ```geogebra appName: 3d width: 700 height: 450 showToolBar: false showAlgebraInput: true showMenuBar: false commands: - "Pt1 = (0,0,0)" - "Pt2 = (2, 3, 1)" - "u = Vector(Pt1, Pt2)" - "Pt3 = (0,0,0)" - "Pt4 = (1, -1, 2)" - "v = Vector(Pt3, Pt4)" - "plane = Plane((0,0,0), (2, 3, 1), (1, -1, 2))" - "c = Slider(0, 14, 1, 8, 100, false, true, true, false)" - "Pt5 = (0,0,0)" - "w = Vector(Pt5, (7, 3, c))" caption: "وابستگی خطی و هم‌صفحه‌ای: بردار w تنها در c = 8 درون صفحه span(u, v) می‌نشیند" explain: - "صفحه خاکستری گستره دو بردار u و v را نشان می‌دهد." - "با تغییر لغزنده c، تنها زمانی که c=8 شود، بردار w روی صفحه می‌نشیند (وابسته خطی)." - "به ازای هر مقدار c ≠ 8، بردار از صفحه خارج شده و سه بردار مستقل خطی خواهند بود." ``` --- ## ۴. ارتباطات و پیوندهای اتمیک * **تعریف مرجع:** [[03-Chapter-2/03.1-Span-and-Linear-Independence/تعریف ۱۷.۲ وابستگی خطی|تعریف ۱۷.۲: وابستگی خطی]] * **مدخل لم طلایی فصل ۲:** [[03-Chapter-2/03.1-Span-and-Linear-Independence/لم ۱۹.۲ لم وابستگی خطی (Linear Dependence Lemma)|لم ۱۹.۲: لم وابستگی خطی (Linear Dependence Lemma)]]

پیوندهای این یادداشت ۰

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

در متن این یادداشت هنوز پیوندی به یادداشت دیگری وجود ندارد.

ارجاعات به این یادداشت ۳

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

حالت ارائه