فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ در $V$ مستقل خطی است و $w \in V$. نشان دهید:

جهت اول ($\implies$): اگر $v_1, \dots, v_m, w$ مستقل خطی باشد، آنگاه $w \notin \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$:

اثبات با برهان خلف: فرض کنید $w \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$ باشد. طبق تعریف گستره (تعریف ۴.۲)، اسکالرهایی مانند $a_1, \dots, a_m \in \mathbb{F}$ وجود دارند به طوری که:

با انتقال $w$ به سمت دیگر تساوی:

این رابطه یک ترکیب خطی از بردارهای لیست $v_1, \dots, v_m, w$ است که برابر با بردار صفر شده است. ضریب بردار $w$ در این ترکیب برابر $-1 \neq 0$ است. بنابراین ضرایب این ترکیب همگی صفر نیستند؛ یعنی طبق تعریف ۱۷.۲، لیست $v_1, \dots, v_m, w$ وابسته خطی است. این با فرض مستقل خطی بودن لیست تناقض دارد. پس فرض خلف باطل است و نتیجه می‌گیریم:

جهت دوم ($\impliedby$): اگر $w \notin \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$ باشد، آنگاه $v_1, \dots, v_m, w$ مستقل خطی است:

فرض کنید $c_1, \dots, c_m, c_{m+1} \in \mathbb{F}$ اسکالرهایی باشند به طوری که:

هدف ما اثبات این است که تمام ضرایب $c_1, \dots, c_{m+1}$ برابر با صفر هستند.

گام اول: بررسی ضریب $c_{m+1}$: اگر $c_{m+1} \neq 0$ باشد، می‌توان طرفین معادله $(**)$ را بر $c_{m+1}$ تقسیم کرد و جمله $w$ را منزوی نمود:

این تساوی نشان می‌دهد که $w$ ترکیبی خطی از $v_1, \dots, v_m$ است؛ یعنی:

اما این نتیجه با فرض صریح مسئله ($w \notin \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$) تناقض دارد! بنابراین امکان ندارد $c_{m+1} \neq 0$ باشد، پس لزوماً:

گام دوم: بررسی سایر ضرایب $c_1, \dots, c_m$: با قرار دادن $c_{m+1} = 0$ در معادله $(**)$، معادله به شکل زیر ساده می‌شود:

طبق فرض اولیه مسئله، لیست $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی است. بنا به تعریف ۱۵.۲، تنها جواب این معادله جواب بدیهی است:

گام سوم: نتیجه‌گیری: ثابت کردیم که تمامی ضرایب صفر هستند:

بنابراین لیست $v_1, \dots, v_m, w$ در $V$ مستقل خطی است.

با اثبات هر دو جهت، حکم مسئله به طور کامل اثبات شد $\blacksquare$

• فراموشی وابستگی به استقلال خطی اولیه: دقت کنید که اگر لیست اولیه $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی نباشد، حتی اگر $w \notin \operatorname{span}(v_1, \dots, v_m)$ باشد، کل لیست باز هم وابسته خطی خواهد بود! فرض استقلال خطی $v_1, \dots, v_m$ در گام دوم جهت عکس نقشی بنیادی ایفا می‌کند.
• جایگاه در لم وابستگی خطی: این تمرین در حقیقت بیان می‌کند که یک لیست مستقل وقتی یک عضو جدید می‌پذیرد، استقلال خطی خود را حفظ می‌کند اگر و تنها اگر عضو جدید زاویه و بُعد جدیدی اضافه کند و در فضای قبلی‌ها نباشد.