ثابت کنید فضای برداری $V$ بی‌بعد-متناهی (بعد نامتناهی) است اگر و فقط اگر دنباله‌ای از بردارها مانند $v_1, v_2, \dots$ در $V$ وجود داشته باشد به طوری که لیست

برای هر عدد صحیح مثبت $m$ مستقل خطی باشد.

جهت اول ($\implies$): اگر $V$ بی‌بعد-متناهی باشد، دنباله مستقل خطی وجود دارد:

فرض کنید $V$ بعد نامتناهی باشد. طبق تعریف ۱۳.۲، هیچ لیست متناهی از بردارها در $V$ وجود ندارد که $V$ را گسترش دهد. دنباله بردارها را به روش استقرای ریاضی می‌سازیم:

پایه استقرا ($m = 1$): چون $V$ بعد متناهی نیست، $V \neq \{0\}$ (زیرا فضای تک‌عضوی $\{0\}$ با لیست تهی با طول صفر گسترش می‌یابد). بنابراین می‌توان برداری مانند $v_1 \in V$ انتخاب کرد به طوری که $v_1 \neq 0$. طبق تمرین ۴(الف)، لیست تک‌عضوی $(v_1)$ مستقل خطی است.

گام استقرا: فرض کنید برای عدد صحیح $k \ge 1$، بردارهای $v_1, \dots, v_k \in V$ را چنان انتخاب کرده‌ایم که لیست $(v_1, \dots, v_k)$ مستقل خطی باشد. زیرفضای گستره آن‌ها یعنی $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_k)$ را در نظر بگیرید. ادعا می‌کنیم $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_k) \neq V$. چرا؟ زیرا اگر $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_k) = V$ می‌بود، آنگاه طبق تعریف ۹.۲ فضا دارای یک لیست گسترش‌دهنده متناهی (به طول $k$) می‌شد و با بعد متناهی می‌بود که با فرض بی‌بعد-متناهی بودن $V$ در تناقض است!

بنابراین عنصری مانند $v_{k+1} \in V$ وجود دارد به طوری که:

طبق تمرین ۱۳ بخش ۱.۲، چون $v_1, \dots, v_k$ مستقل خطی است و $v_{k+1} \notin \operatorname{span}(v_1, \dots, v_k)$، لیست جدید به طول $k+1$ یعنی:

نیز مستقل خطی خواهد بود.

با اصل استقرای ریاضی، دنباله‌ای نامتناهی از بردارها $v_1, v_2, \dots$ در $V$ ساخته می‌شود به طوری که به ازای هر عدد صحیح مثبت $m$، لیست $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی است.

جهت دوم ($\impliedby$): اگر چنین دنباله‌ای وجود داشته باشد، آنگاه $V$ بی‌بعد-متناهی است:

اثبات با برهان خلف: فرض کنید دنباله $v_1, v_2, \dots$ با شرط استقلال خطی تمام زیرلیست‌های متناهی در $V$ وجود داشته باشد، اما $V$ با بعد متناهی باشد.

گام اول: چون فرض کردیم $V$ با بعد متناهی است، طبق تعریف ۹.۲ آکسلر، لیستی متناهی از بردارها در $V$ مانند $u_1, \dots, u_n$ وجود دارد که فضا را گسترش می‌دهد:

طول این لیست مولد برابر با عدد صحیح متناهی $n$ است.

گام دوم: اکنون عدد صحیح مثبت $m = n + 1$ را در نظر می‌گیریم. طبق فرض مسئله درباره دنباله، لیست $v_1, \dots, v_{n+1}$ یک لیست مستقل خطی در $V$ است. طول این لیست مستقل خطی برابر با $n + 1$ است.

گام سوم: طبق قضیه ۲۲.۲ آکسلر: «طول هر لیست مستقل خطی در $V$ کمتر یا مساوی طول هر لیست گسترش‌دهنده $V$ است.» بنابراین باید داشته باشیم:

با کم کردن $n$ از طرفین:

که این یک تناقض ریاضی غیرقابل‌انکار است!

گام چهارم: این تناقض نشان می‌دهد که فرض خلف باطل است و فضا نمی‌تواند با بعد متناهی باشد. بنابراین $V$ بی‌بعد-متناهی (بعد نامتناهی) است.

با اثبات هر دو جهت، حکم مسئله به طور کامل اثبات شد $\blacksquare$

• خلط مفهوم دنباله نامتناهی با بعد فضا: در این مرحله از درس هنوز پایه‌های نامتناهی یا بعد نامتناهی به صورت عددی تعریف نشده‌اند؛ مفهوم فضای بعد نامتناهی صرفاً به صورت منفی («فضایی که با بعد متناهی نیست») تعریف شده است. پیوند دادن آن با استقلال خطی در هر عمق دلخواه، جوهره ریاضی این تمرین است.
• اتکا به تمرین ۱۳: در گام استقرای ساخت دنباله، ارجاع صریح به تمرین ۱۳ (شرط استقلال خطی هنگام افزودن بردار جدید) اثبات را کاملاً ساختاریافته و بی‌نقص می‌کند.