ثابت کنید فضای برداری حقیقی همه توابع پیوسته با مقدار حقیقی روی بازه $[0, 1]$، بی‌بعد-متناهی (بعد نامتناهی) است.

گام اول (معرفی خانواده توابع در $C([0, 1])$): برای هر عدد صحیح نامنفی $k \ge 0$، تابع $f_k: [0, 1] \to \mathbb{R}$ را به صورت تابع توانی تعریف می‌کنیم:

از حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌دانیم که هر تابع توانی روی کل خط حقیقی و به ویژه روی بازه بسته $[0, 1]$ پیوسته است. بنابراین برای هر $k \ge 0$:

گام دوم (بررسی ترکیب خطی برای یک طول دلخواه $m$): فرض کنید $m$ یک عدد صحیح مثبت دلخواه باشد. لیست $m+1$ تایی زیر را از این توابع در نظر می‌گیریم:

فرض کنید اسکالرهایی مانند $c_0, c_1, \dots, c_m \in \mathbb{R}$ وجود دارند به گونه‌ای که ترکیب خطی آن‌ها برابر با بردار صفر در فضای $C([0, 1])$ شود:

بردار صفر در این فضای تابعی، تابع همانی صفر است؛ یعنی تابعی که به ازای هر ورودی مقدار صفر تولید می‌کند. پس به ازای هر $x \in [0, 1]$ داریم:

گام سوم (اثبات صفر بودن ضرایب با استفاده از ریشه‌های چندجمله‌ای): عبارت $p(x)$ یک چندجمله‌ای از درجه حداکثر $m$ با ضرایب حقیقی است. طبق قضیه بنیادی جبر و خاصیت اساسی چندجمله‌ای‌ها:

اگر یک چندجمله‌ای درجه حداکثر $m$، دارای بیش از $m$ ریشه متمایز باشد، آن چندجمله‌ای لزوماً چندجمله‌ای پوچ (صفر) است و تمام ضرایب آن صفر هستند.

بازه $[0, 1]$ یک مجموعه نامتناهی است و شامل بی‌نهایت نقطه متمایز می‌باشد (مثلاً اعداد $x = 0, \frac{1}{m+1}, \frac{2}{m+1}, \dots, 1$). چون معادله $p(x) = 0$ برای تمامی نقاط این بازه برقرار است، تعداد ریشه‌های آن بی‌نهایت است که اکیداً بزرگ‌تر از $m$ می‌باشد. بنابراین چندجمله‌ای $p$ نمی‌تواند ناصفر باشد؛ در نتیجه تمامی ضرایب آن باید صفر باشند:

گام چهارم (نتیجه‌گیری): چون تنها جواب معادله ترکیب خطی جواب بدیهی است، لیست $f_0, f_1, \dots, f_m$ در $C([0, 1])$ مستقل خطی است. از آنجا که این نتیجه به ازای هر عدد صحیح مثبت $m$ برقرار است، خانواده مستقل خطی با طول دلخواه در $C([0, 1])$ وجود دارد.

حال اگر به فرض خلف $C([0, 1])$ با بعد متناهی می‌بود و لیستی مولد به طول متناهی $n$ می‌داشت، طبق قضیه ۲۲.۲ آکسلر هیچ لیست مستقلی نمی‌توانست طولی بیش از $n$ داشته باشد؛ در حالی که ما با انتخاب $m = n$ یک لیست مستقل به طول $n+1$ ساختیم. این تناقض اثبات می‌کند که $C([0, 1])$ بی‌بعد-متناهی است $\blacksquare$

• تفاوت تابع با نقطه: دقت کنید که صفر بودن یک تابع ($f = 0$) به معنای صفر بودن مقدار آن در تمامی نقاط دامنه است ($f(x) = 0, \forall x \in [0, 1]$). صفر بودن در چند نقطه خاص دلیلی بر صفر بودن تابع نیست.
• روش‌های جایگزین برای صفر بودن ضرایب: می‌توان به جای استفاده از تعداد ریشه‌ها، از مشتق‌گیری متوالی در نقطه $x = 0$ استفاده کرد: $$p^{(k)}(0) = k! c_k = 0 \implies c_k = 0$$ که این روش نیز بسیار ظریف است و به همان نتیجه قطعی می‌رسد.