ثابت کنید فضای $\mathbb{F}^\infty$ بی‌بعد-متناهی (بعد نامتناهی) است.

گام اول (معرفی دنباله بردارهای استاندارد در $\mathbb{F}^\infty$): به ازای هر عدد صحیح مثبت $k \ge 1$، بردار $e_k \in \mathbb{F}^\infty$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

به این صورت که مؤلفه $j$ام بردار $e_k$ (با نماد دلتای کرونکر $\delta_{jk}$) برابر است با:

نمونه‌هایی از این بردارها عبارتند از:

و به همین ترتیب تا بی‌نهایت.

گام دوم (اثبات استقلال خطی برای هر طول دلخواه $m$): فرض کنید $m$ یک عدد صحیح مثبت دلخواه باشد. ترکیب خطی مساوی با بردار صفر در $\mathbb{F}^\infty$ را در نظر می‌گیریم:

بردار صفر در $\mathbb{F}^\infty$ دنباله‌ای است که تمامی جملات آن صفر است:

اکنون سمت چپ رابطه را محاسبه می‌کنیم:

بنابراین تساوی برداری به شکل زیر است:

گام سوم (تساوی مؤلفه‌به‌مؤلفه): دو دنباله برابرند اگر و فقط اگر تمامی مؤلفه‌های نظیر آن‌ها با هم برابر باشند:

• مؤلفه اول: $c_1 = 0$
• مؤلفه دوم: $c_2 = 0$
• $\vdots$
• مؤلفه $m$ام: $c_m = 0$

این نشان می‌دهد که تنها جواب ممکن برای معادله ترکیب خطی، جواب بدیهی $c_1 = c_2 = \dots = c_m = 0$ است. بنابراین برای هر عدد صحیح مثبت $m$، لیست $e_1, \dots, e_m$ در $\mathbb{F}^\infty$ مستقل خطی است.

گام چهارم (نتیجه‌گیری بی‌بعد-متناهی بودن): طبق تمرین ۱۷ بخش ۱.۲، یک فضای برداری بی‌بعد-متناهی است اگر و فقط اگر دنباله‌ای از بردارها در آن وجود داشته باشد که هر زیرلیست متناهی از آن مستقل خطی باشد. چون دنباله $(e_k)_{k=1}^\infty$ در $\mathbb{F}^\infty$ این خاصیت را دارد، در نتیجه فضای $\mathbb{F}^\infty$ بی‌بعد-متناهی است $\blacksquare$

• اشتباه گرفتن جمع نامتناهی با ترکیب خطی: در جبر خطی استاندارد، ترکیب خطی همواره متناهی است؛ عباراتی با بی‌نهایت جمع در جبر خطی محض (بدون توپولوژی و حد) تعریف نشده‌اند. اثبات فوق هیچ احتیاجی به سری‌های نامتناهی ندارد و صرفاً با زیرلیست‌های متناهی کار می‌کند.
• چرا بردارهای $e_k$ کل $\mathbb{F}^\infty$ را اسپن نمی‌کنند؟ گستره $\operatorname{span}(e_1, e_2, \dots)$ تنها شامل دنباله‌هایی است که از یک جایی به بعد صفر می‌شوند (دنباله‌های با تکیه‌گاه متناهی). دنباله‌ای مانند $(1, 1, 1, \dots)$ در گستره آن‌ها نیست. اما برای اثبات بعد نامتناهی نیازی به مولد بودن کل فضا نداریم، وجود لیست‌های مستقل دلخواه کافی است.