اثبات یا ارائه یک مثال نقض: اگر $v_1, v_2, \dots, v_m$ یک لیست مستقل خطی از بردارها در $V$ باشد و $\lambda \in \mathbb{F}$ با $\lambda \neq 0$، آنگاه لیست

مستقل خطی است.

گام اول (تشکیل معادله همگن): فرض کنید $c_1, \dots, c_m \in \mathbb{F}$ اسکالرهایی باشند به گونه‌ای که:

گام دوم (بسط و اعمال خواص شرکت‌پذیری): طبق اصول موضوعه فضای برداری (خواص ضرب اسکالر):

بنابراین معادله فوق به شکل زیر بازنویسی می‌شود:

گام سوم (اعمال استقلال خطی لیست اصلی): طبق فرض، لیست $v_1, \dots, v_m$ مستقل خطی است. پس تنها ترکیب خطی ممکن از این بردارها که برابر با بردار صفر می‌شود، ترکیبی است که همه ضرایب آن صفر باشند. بنابراین:

گام چهارم (استفاده از وارون‌پذیری اسکالر $\lambda$): چون فرض شده است $\lambda \neq 0$ و عناصر میدان دارای وارون ضربی هستند، عدد $\lambda^{-1} = \frac{1}{\lambda} \in \mathbb{F}$ وجود دارد. با ضرب طرفین هر رابطه در $\lambda^{-1}$:

این نتیجه برای تمامی $k \in \{1, \dots, m\}$ برقرار است:

گام پنجم (نتیجه‌گیری): چون معادله اولیه تنها جواب بدیهی $c_1 = \dots = c_m = 0$ را دارد، نتیجه می‌گیریم که لیست $\lambda v_1, \dots, \lambda v_m$ مستقل خطی است $\blacksquare$

• چرا شرط $\lambda \neq 0$ حیاتی است؟ اگر $\lambda = 0$ باشد، تمام بردارهای لیست به بردار صفر تبدیل می‌شوند: $$0 v_1, \dots, 0 v_m = 0, \dots, 0$$ طبق تمرین ۴(الف) و تعریف ۱۷.۲، هر لیستی که شامل بردار صفر باشد بلافاصله وابسته خطی است! پس گزاره بدون فرض $\lambda \neq 0$ کاملاً نادرست خواهد بود.