صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $v_1, \dots, v_m$ در $V$ مستقل خطی است و $w \in V$. ثابت کنید:

$$\dim \operatorname{span}(v_1 + w, \dots, v_m + w) \ge m - 1$$

اثبات به روش استخراج زیرلیست مستقل خطی

زیرفضای مورد نظر را $U$ می‌نامیم:

$$U = \operatorname{span}(v_1 + w, v_2 + w, \dots, v_m + w)$$

گام اول (ساخت $m-1$ بردار در $U$): برای هر $k \in \{2, 3, \dots, m\}$ بردار $x_k$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$x_k = (v_k + w) - (v_1 + w) = v_k - v_1$$

چون هر $x_k$ تفاضل دو بردار از مجموعه مولد $U$ است، پس:

$$x_k \in U \quad \forall k \in \{2, 3, \dots, m\}$$

گام دوم (اثبات استقلال خطی لیست $(x_2, x_3, \dots, x_m)$): ادعا می‌کنیم لیست $m-1$ عضوی $(v_2 - v_1, v_3 - v_1, \dots, v_m - v_1)$ مستقل خطی است. فرض کنید برای اسکالرهای $c_2, c_3, \dots, c_m \in \mathbb{F}$ داشته باشیم:

$$c_2 (v_2 - v_1) + c_3 (v_3 - v_1) + \dots + c_m (v_m - v_1) = 0$$

جملات را باز کرده و بر حسب $v_1, \dots, v_m$ دسته‌بندی می‌کنیم:

$$-(c_2 + c_3 + \dots + c_m) v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 + \dots + c_m v_m = 0$$

اما فرض مسئله این است که لیست $(v_1, v_2, \dots, v_m)$ مستقل خطی است. بنابراین تمامی ضرایب باید صفر باشند:

• از ضریب $v_2$: $c_2 = 0$
• از ضریب $v_3$: $c_3 = 0$
• $\vdots$
• از ضریب $v_m$: $c_m = 0$

بنابراین تمامی اسکالرهای $c_2 = \dots = c_m = 0$ هستند. این نشان می‌دهد که لیست $(x_2, x_3, \dots, x_m)$ مستقل خطی است.

گام سوم (نتیجه‌گیری بعد): لیست $(x_2, \dots, x_m)$ یک لیست مستقل خطی به طول $m - 1$ در زیرفضای $U$ است. طبق قضیه بعد (طول هر لیست مستقل خطی در یک زیرفضا کمتر یا مساوی بعد آن زیرفضا است):

$$\dim U \ge m - 1$$

یعنی:

$$\dim \operatorname{span}(v_1 + w, \dots, v_m + w) \ge m - 1$$

حکم اثبات شد. $\blacksquare$

چه زمانی بعد دقیقاً $m-1$ می‌شود؟

• اگر $w$ را به صورت $w = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m v_i$ انتخاب نکنیم، بلکه فرض کنید $m=2$ باشد و $v_1, v_2$ مستقل باشند. اگر $w = -v_1$ باشد، آنگاه $v_1+w = 0$ و $v_2+w = v_2 - v_1 \neq 0$، که در این حالت بعد اسپن دقیقاً $1 = m - 1$ می‌شود!
• بنابراین کران $m-1$ تیز (Tight) است و نمی‌توان آن را به $m$ بهبود داد.