صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ و $W$ هر دو زیرفضاهای چهاربعدی از $\mathbb{C}^6$ هستند. ثابت کنید دو بردار در $U \cap W$ وجود دارند به طوری که هیچ یک از این بردارها مضرب اسکالر دیگری نیست.

حل دقیق و استدلالی

گام اول: اعمال فرمول بعد گراسمن طبق فرمول گراسمن (قضیه ۳۹.۲ آکسلر) برای دو زیرفضای با بعد متناهی $U$ و $W$:

$$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$$

با قرار دادن مقادیر داده شده در صورت مسئله ($\dim U = 4$ و $\dim W = 4$):

$$\dim(U + W) = 4 + 4 - \dim(U \cap W) = 8 - \dim(U \cap W)$$

بنابراین:

$$\dim(U \cap W) = 8 - \dim(U + W) \quad \text{--- (۱)}$$

گام دوم: تحلیل کران بعد مجموع از آنجا که $U$ و $W$ زیرفضاهایی از $\mathbb{C}^6$ هستند، مجموع آن‌ها یعنی $U + W$ نیز زیرفضایی از $\mathbb{C}^6$ است:

$$U + W \subseteq \mathbb{C}^6$$

طبق قضیه بعد زیرفضا (قضیه ۳۶.۲)، بعد هر زیرفضا کمتر یا مساوی بعد فضای مادر است:

$$\dim(U + W) \le \dim \mathbb{C}^6 = 6 \quad \text{--- (۲)}$$

گام سوم: به دست آوردن کران پایین برای بعد اشتراک از نامساوی (۲) نتیجه می‌گیریم:

$$-\dim(U + W) \ge -6$$

با جمع کردن این نامساوی با عدد ۸ (طبق رابطه ۱):

$$\dim(U \cap W) = 8 - \dim(U + W) \ge 8 - 6 = 2$$

پس:

$$\dim(U \cap W) \ge 2$$

گام چهارم: استخراج دو بردار غیر مضرب (مستقل خطی) چون $\dim(U \cap W) \ge 2$، زیرفضای $U \cap W$ دارای پایه‌ای با طول حداقل ۲ است. دو بردار اول از این پایه را برمی‌داریم و آن‌ها را $u_1$ و $u_2$ می‌نامیم. از آنجا که این بردارها عضو یک پایه هستند: ۱. هر دو عضو $U \cap W$ هستند: $u_1, u_2 \in U \cap W$. ۲. لیست $(u_1, u_2)$ مستقل خطی است. دو بردار در یک فضای برداری مستقل خطی هستند اگر و فقط اگر هیچ‌یک از آن‌ها مضرب اسکالر دیگری نباشد (یعنی $u_1 \neq c u_2$ و $u_2 \neq c u_1$ به ازای هر $c \in \mathbb{C}$).

حکم مسئله به طور کامل اثبات شد. $\blacksquare$

ترجمه مفاهیم به استقلال خطی

• در سوالات امتحانی، عباراتی مانند «هیچ‌یک مضرب دیگری نیست» برای دو بردار، هم‌ارز دقیق «استقلال خطی دو بردار» و به تبع آن «بعد حداقل ۲» است. همواره ابتدا مسئله را به زبان بعد ترجمه کنید.