مثال ۴۱.۲: کاربرد فرمول گراسمن در مسائل امتحانی

۱. مسئله اول: اشتراک زیرفضاهای با بعد بالا (تمرین ۱۱ کتاب آکسلر)

حل تشریحی گام‌به‌گام:

1. داده‌های مسئله:
   • فضای مادر: $V = \mathbb{C}^6 \implies \dim V = 6$.
   • ابعاد زیرفضاها: $\dim U = 4$ و $\dim W = 4$.
2. محاسبه بعد مجموع: چون $U + W$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^6$ است، بنا به قضیه بعد زیرفضا بعد آن نمی‌تواند از ۶ تجاوز کند: $$\dim(U + W) \le \dim \mathbb{C}^6 = 6$$
3. اعمال فرمول گراسمن: $$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$$ $$\implies \dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U + W)$$ $$= 4 + 4 - \dim(U + W) = 8 - \dim(U + W)$$
4. نامساوی نهایی: با توجه به اینکه $\dim(U + W) \le 6$: $$\dim(U \cap W) = 8 - \dim(U + W) \ge 8 - 6 = 2$$
5. نتیجه‌گیری: چون بعد اشتراک حداقل ۲ است ($\dim(U \cap W) \ge 2$)، هر پایه‌ای از $U \cap W$ دست‌کم شامل ۲ بردار است. این بردارها طبق تعریف پایه، مستقل خطی هستند. پس حداقل دو بردار مستقل خطی در $U \cap W$ وجود دارند. $\blacksquare$

۲. مسئله دوم: برخورد دو ابرصفحه در فضای $n$-بعدی

تحلیل و حل:

• $\dim V_1 = n - 1$ و $\dim V_2 = n - 1$.
• چون دو زیرفضا متمایزند ($V_1 \neq V_2$)، طبق قضیه ۳۶.۲ مجموع آن‌ها $V_1 + V_2$ باید بعدی اکیداً بزرگتر از $n-1$ داشته باشد: $$\dim(V_1 + V_2) > n - 1 \implies \dim(V_1 + V_2) = n$$
• اکنون طبق فرمول گراسمن: $$\dim(V_1 \cap V_2) = (n - 1) + (n - 1) - n = 2n - 2 - n = \mathbf{n - 2}$$
• تعبیر هندسی:
  • در $\mathbb{R}^2$ ($n=2$): دو خط متمایز در یک نقطه ($n-2 = 0$) همدیگر را قطع می‌کنند.
  • در $\mathbb{R}^3$ ($n=3$): دو صفحه متمایز در یک خط ($n-2 = 1$) همدیگر را قطع می‌کنند.
  • در $\mathbb{R}^4$ ($n=4$): دو ابرفضای سه‌بعدی در یک صفحه دوبعدی ($n-2 = 2$) متقاطع می‌شوند.

۳. مسئله سوم: تفاوت هندسی فاحش $\mathbb{R}^3$ و $\mathbb{R}^4$

پاسخ:

• در $\mathbb{R}^3$ (ناممکن): $$\dim(U \cap W) = 2 + 2 - \dim(U + W) \ge 4 - 3 = 1$$ پس در فضای سه‌بعدی، دو صفحه گذرنده از مبدا محال است فقط در مبدا متقاطع شوند؛ حتماً در یک خط اشتراک دارند.
• در $\mathbb{R}^4$ (کاملاً ممکن!): $$\dim(U \cap W) = 2 + 2 - \dim(U + W) = 4 - \dim(U + W)$$ اگر دو صفحه چنان قرار گیرند که مجموع آن‌ها کل $\mathbb{R}^4$ را پر کند ($\dim(U + W) = 4$)، آنگاه: $$\dim(U \cap W) = 4 - 4 = 0 \implies U \cap W = \{\mathbf{0}\}$$ مثال صریح در $\mathbb{R}^4$: $$U = \operatorname{span}(e_1, e_2), \quad W = \operatorname{span}(e_3, e_4) \implies \mathbb{R}^4 = U \oplus W$$

۴. نکات کلیدی و هشدارهای امتحانی

۵. پیوندها

• قضیه اصلی مرجع: فرمول گراسمن
• مفهوم جمع مستقیم: بعد جمع مستقیم
• فهرست مرجع: MOC فصل ۲