صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V$ یک فضای برداری ده‌بعدی است و $V_1, V_2, V_3$ زیرفضاهایی از $V$ با بعدهای زیر هستند:

$$\dim V_1 = \dim V_2 = \dim V_3 = 7$$

ثابت کنید:

$$V_1 \cap V_2 \cap V_3 \neq \{0\}$$

اثبات گام‌به‌گام با اعمال متوالی فرمول گراسمن

گام اول: بررسی اشتراک دو زیرفضای اول ($V_1 \cap V_2$) طبق فرمول گراسمن برای $V_1$ و $V_2$:

$$\dim(V_1 \cap V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 + V_2)$$

چون $V_1 + V_2 \subseteq V$ است، داریم $\dim(V_1 + V_2) \le \dim V = 10$. با جایگذاری مقادیر:

$$\dim(V_1 \cap V_2) \ge 7 + 7 - 10 = 14 - 10 = 4 \quad \text{--- (۱)}$$

گام دوم: تقاطع با زیرفضای سوم ($V_3$) زیرفضای $U = V_1 \cap V_2$ را در نظر بگیرید. می‌دانیم $\dim U \ge 4$. حال فرمول گراسمن را برای دو زیرفضای $U$ و $V_3$ می‌نویسیم:

$$\dim(U \cap V_3) = \dim U + \dim V_3 - \dim(U + V_3)$$

توجه کنید که:

$$U \cap V_3 = (V_1 \cap V_2) \cap V_3 = V_1 \cap V_2 \cap V_3$$

و همچنین $U + V_3 \subseteq V$ است، پس $\dim(U + V_3) \le \dim V = 10$.

گام سوم: برآورد کران بعد اشتراک سه‌گانه با جایگذاری کران‌های به دست آمده در رابطه گام دوم:

$$\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \ge \dim(V_1 \cap V_2) + \dim V_3 - 10$$

با استفاده از نامساوی (۱) که $\dim(V_1 \cap V_2) \ge 4$ بود و $\dim V_3 = 7$:

$$\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \ge 4 + 7 - 10 = 11 - 10 = 1$$

پس:

$$\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \ge 1$$

گام چهارم: نتیجه‌گیری چون بعد زیرفضای اشتراک سه‌گانه حداقل ۱ است، این زیرفضا نمی‌تواند زیرفضای صفر باشد:

$$V_1 \cap V_2 \cap V_3 \neq \{0\}$$

حکم مسئله به طور کامل اثبات شد. $\blacksquare$

دام فرمول شمول و طرد

• دانشجویان نباید فرمول شمول و طرد نظریه مجموعه‌ها را برای سه زیرفضا بنویسند (چون این فرمول در جبر خطی غلط است، تمرین ۱۹ را ببینید). روش درست برای سه یا چند زیرفضا، اعمال ترتیبی گراسمن برای جفت‌هاست.