صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ و $W$ هر دو زیرفضاهای پنج‌بعدی از $\mathbb{R}^9$ هستند. ثابت کنید:

$$U \cap W \neq \{0\}$$

اثبات به روش فرمول ابعاد

گام اول: تشکیل فرمول گراسمن طبق فرمول ابعاد گراسمن:

$$\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U + W)$$

مقادیر فرضی را قرار می‌دهیم:

$$\dim(U \cap W) = 5 + 5 - \dim(U + W) = 10 - \dim(U + W) \quad \text{--- (۱)}$$

گام دوم: اعمال کران فضای مادر چون $U, W \subseteq \mathbb{R}^9$، پس مجموع آن‌ها نیز در فضای مادر قرار دارد:

$$U + W \subseteq \mathbb{R}^9 \implies \dim(U + W) \le \dim \mathbb{R}^9 = 9$$

گام سوم: استخراج نامساوی برای بعد اشتراک با جایگذاری کران بالا در رابطه (۱):

$$\dim(U \cap W) = 10 - \dim(U + W) \ge 10 - 9 = 1$$

پس:

$$\dim(U \cap W) \ge 1$$

از آنجا که بعد زیرفضای اشتراک حداقل ۱ است، این زیرفضا نمی‌تواند تنها شامل بردار صفر باشد (زیرا $\dim \{0\} = 0$). بنابراین $U \cap W$ دارای حداقل یک بردار ناصفر است:

$$U \cap W \neq \{0\}$$

حکم مسئله اثبات شد. $\blacksquare$

تعمیم امتحانی (اصل تجمع ابعاد)

• هر گاه در فضای با بعد $n$، دو زیرفضا داشته باشیم به طوری که $\dim U + \dim W > n$، آنگاه اشتراک آن‌ها قطعاً ناصفر است و حداقل بعد اشتراک برابر با $(\dim U + \dim W - n)$ می‌باشد.