صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

توضیح دهید چرا ممکن است حدس بزنید، با انگیزه از قیاس با فرمول تعداد عناصر در اجتماع سه مجموعه متناهی، که اگر $V_1, V_2, V_3$ زیرفضاهای یک فضای با بعد متناهی باشند، آنگاه:

$$\dim(V_1 + V_2 + V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_1 \cap V_2) - \dim(V_1 \cap V_3) - \dim(V_2 \cap V_3) + \dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3)$$

سپس یا فرمول بالا را اثبات کنید یا یک مثال نقض ارائه دهید.

رد ادعا با ارائه مثال نقض صریح

ادعای فوق غلط است. مثال نقض زیر را در نظر می‌گیریم:

گام اول: تعریف فضا و سه زیرفضا فرض کنید فضای مادر $V = \mathbb{R}^2$ باشد. سه زیرفضای یک‌بعدی زیر را تعریف می‌کنیم:

$$V_1 = \operatorname{span}\big((1, 0)\big) = \big\{ (x, 0) : x \in \mathbb{R} \big\} \quad (\text{محور } x)$$

$$V_2 = \operatorname{span}\big((0, 1)\big) = \big\{ (0, y) : y \in \mathbb{R} \big\} \quad (\text{محور } y)$$

$$V_3 = \operatorname{span}\big((1, 1)\big) = \big\{ (t, t) : t \in \mathbb{R} \big\} \quad (\text{خط } y = x)$$

گام دوم: محاسبه ابعاد تکی هر یک از این سه زیرفضا توسط یک بردار ناصفر تولید شده‌اند؛ بنابراین:

$$\dim V_1 = 1, \quad \dim V_2 = 1, \quad \dim V_3 = 1$$

گام سوم: محاسبه ابعاد اشتراک‌های دوبه‌دو و سه‌گانه ۱. تقاطع $V_1$ و $V_2$: محورهای مختصات تنها در مبدأ متقاطع‌اند:

$$V_1 \cap V_2 = \{(0, 0)\} \implies \dim(V_1 \cap V_2) = 0$$

۲. تقاطع $V_1$ و $V_3$: خط $y=0$ و خط $y=x$ تنها در مبدأ تلاقی دارند:

$$V_1 \cap V_3 = \{(0, 0)\} \implies \dim(V_1 \cap V_3) = 0$$

۳. تقاطع $V_2$ و $V_3$: خط $x=0$ و خط $y=x$ تنها در مبدأ تلاقی دارند:

$$V_2 \cap V_3 = \{(0, 0)\} \implies \dim(V_2 \cap V_3) = 0$$

۴. تقاطع سه‌گانه:

$$V_1 \cap V_2 \cap V_3 = \{(0, 0)\} \implies \dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) = 0$$

گام چهارم: ارزیابی طرف راست فرمول حدس‌زده‌شده با جایگذاری این ابعاد در طرف راست فرمول:

$$\text{RHS} = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_1 \cap V_2) - \dim(V_1 \cap V_3) - \dim(V_2 \cap V_3) + \dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3)$$

$$\text{RHS} = 1 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 + 0 = 3$$

گام پنجم: محاسبه طرف چپ فرمول (بعد مجموع) مجموع این سه زیرفضا عبارت است از:

$$V_1 + V_2 + V_3 = \operatorname{span}\big( (1,0), (0,1), (1,1) \big) = \mathbb{R}^2$$

بنابراین:

$$\text{LHS} = \dim(V_1 + V_2 + V_3) = \dim \mathbb{R}^2 = 2$$

نتیجه و تناقض: مقایسه طرف چپ و راست نشان می‌دهد:

$$\text{LHS} = 2 \neq 3 = \text{RHS}$$

بنابراین فرمول حدس‌زده‌شده به وضوح نادرست است. $\blacksquare$

چرا قیاس با مجموعه‌ها شکست می‌خورد؟

• در نظریه مجموعه‌ها، اگر سه مجموعه دوبه‌دو مجزا باشند ($A \cap B = \emptyset$)، اجتماع آن‌ها اندازه $|A|+|B|+|C|$ دارد. اما در فضاهای برداری، سه خط می‌توانند دوبه‌دو اشتراک صفر داشته باشند ولی درون یک صفحه دوبعدی محصور باشند! پس جبر خطی از توزیع‌پذیری مجموعه‌ها پیروی نمی‌کند ($V_1 \cap (V_2 + V_3) \neq (V_1 \cap V_2) + (V_1 \cap V_3)$).