صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

ثابت کنید اگر $V_1, V_2, V_3$ زیرفضاهای یک فضای برداری با بعد متناهی باشند، آنگاه:

$$\dim(V_1 + V_2 + V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3$$

$$- \frac{\dim(V_1 \cap V_2) + \dim(V_1 \cap V_3) + \dim(V_2 \cap V_3)}{3}$$

$$- \frac{\dim((V_1 + V_2) \cap V_3) + \dim((V_1 + V_3) \cap V_2) + \dim((V_2 + V_3) \cap V_1)}{3}$$

اثبات به روش ترکیب جایگشت‌های فرمول گراسمن

گام اول: اعمال گراسمن روی پرانتزبندی اول $((V_1 + V_2) + V_3)$ مجموع را به صورت $(V_1 + V_2) + V_3$ می‌نویسیم و فرمول گراسمن را بر دو زیرفضای $(V_1 + V_2)$ و $V_3$ اعمال می‌کنیم:

$$\dim(V_1 + V_2 + V_3) = \dim(V_1 + V_2) + \dim V_3 - \dim\big((V_1 + V_2) \cap V_3\big) \quad \text{--- (۱)}$$

حال مجدداً طبق فرمول گراسمن برای دو زیرفضای $V_1$ و $V_2$:

$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) \quad \text{--- (۲)}$$

رابطه (۲) را در رابطه (۱) جایگذاری می‌کنیم:

$$\dim(V_1 + V_2 + V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_1 \cap V_2) - \dim\big((V_1 + V_2) \cap V_3\big) \quad \text{--- (معادله الف)}$$

گام دوم: تولید روابط متقارن با جایگشت اندیس‌ها از آنجا که جمع زیرفضاها جابه‌جایی است، می‌توانستیم پرانتزبندی را با جفت‌های دیگر انجام دهیم:

• پرانتزبندی دوم $((V_1 + V_3) + V_2)$:

  $$\dim(V_1 + V_2 + V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_1 \cap V_3) - \dim\big((V_1 + V_3) \cap V_2\big) \quad \text{--- (معادله ب)}$$

• پرانتزبندی سوم $((V_2 + V_3) + V_1)$:

  $$\dim(V_1 + V_2 + V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - \dim(V_2 \cap V_3) - \dim\big((V_2 + V_3) \cap V_1\big) \quad \text{--- (معادله ج)}$$

گام سوم: جمع سه معادله و میانگین‌گیری این سه معادله معتبر (الف)، (ب) و (ج) را طرف‌به‌طرف با یکدیگر جمع می‌کنیم: در سمت چپ داریم:

$$\dim(V_1 + V_2 + V_3) + \dim(V_1 + V_2 + V_3) + \dim(V_1 + V_2 + V_3) = 3 \dim(V_1 + V_2 + V_3)$$

در سمت راست داریم:

$$3 \big( \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 \big)$$

$$- \Big( \dim(V_1 \cap V_2) + \dim(V_1 \cap V_3) + \dim(V_2 \cap V_3) \Big)$$

$$- \Big( \dim\big((V_1 + V_2) \cap V_3\big) + \dim\big((V_1 + V_3) \cap V_2\big) + \dim\big((V_2 + V_3) \cap V_1\big) \Big)$$

گام چهارم: تقسیم بر ۳ و نتیجه‌گیری نهایی هر دو طرف تساوی حاصل را بر ۳ تقسیم می‌کنیم:

$$\dim(V_1 + V_2 + V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3$$

$$- \frac{\dim(V_1 \cap V_2) + \dim(V_1 \cap V_3) + \dim(V_2 \cap V_3)}{3}$$

$$- \frac{\dim\big((V_1 + V_2) \cap V_3\big) + \dim\big((V_1 + V_3) \cap V_2\big) + \dim\big((V_2 + V_3) \cap V_1\big)}{3}$$

این دقیقاً فرمول مورد نظر در صورت مسئله است و اثبات به طور کامل پایان می‌یابد. $\blacksquare$

آزمایش فرمول روی مثال نقض تمرین ۱۹

• بیایید صحت این فرمول را با مثال نقض تمرین ۱۹ امتحان کنیم: در تمرین ۱۹ داشتیم: $V_1, V_2, V_3$ سه خط در $\mathbb{R}^2$ با $\dim V_i = 1$.
  • اشتراک‌های دوبه‌دو صفر بودند: $\dim(V_i \cap V_j) = 0$.
  • اما $V_1 + V_2 = \mathbb{R}^2$ است؛ بنابراین $(V_1 + V_2) \cap V_3 = \mathbb{R}^2 \cap V_3 = V_3$ که بعد آن ۱ است!
  • مشابهاً $(V_1 + V_3) \cap V_2 = V_2$ با بعد ۱، و $(V_2 + V_3) \cap V_1 = V_1$ با بعد ۱. جایگذاری در فرمول: $$\dim(V_1 + V_2 + V_3) = (1 + 1 + 1) - \frac{0 + 0 + 0}{3} - \frac{1 + 1 + 1}{3} = 3 - 0 - 1 = 2$$ دقیقاً برابر با ۲ به دست می‌آید که کاملاً درست و منطبق بر واقعیت است!