صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

نشان دهید زیرفضاهای $\mathbb{R}^3$ دقیقاً عبارتند از: ۱. زیرفضای صفر $\{0\}$ ۲. همه خطوط در $\mathbb{R}^3$ که از مبدأ می‌گذرند. ۳. همه صفحات در $\mathbb{R}^3$ که از مبدأ می‌گذرند. ۴. کل فضای $\mathbb{R}^3$.

اثبات کامل

فرض کنید $U$ زیرفضایی از $\mathbb{R}^3$ باشد. چون $\dim \mathbb{R}^3 = 3$، طبق قضیه بعد زیرفضا داریم:

$$\dim U \in \{0, 1, 2, 3\}$$

چهار حالت را تفکیک می‌کنیم:

۱. حالت $\dim U = 0$: تنها زیرفضای با بعد صفر، زیرفضای صفر $\{0\}$ است که از نظر هندسی همان نقطه مبدأ مختصات است.

۲. حالت $\dim U = 1$: پایه $U$ شامل یک بردار ناصفر $v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$ است. پس:

$$U = \operatorname{span}(v) = \{ tv : t \in \mathbb{R} \}$$

این مجموعه دقیقاً معادله پارامتری یک خط راست در فضای سه‌بعدی است که از مبدأ مختصات عبور می‌کند و بردار هادی آن $v$ است.

۳. حالت $\dim U = 2$: پایه $U$ شامل دو بردار مستقل خطی $v_1, v_2$ است. پس:

$$U = \operatorname{span}(v_1, v_2) = \{ s v_1 + t v_2 : s, t \in \mathbb{R} \}$$

از نظر هندسی، اسپن دو بردار غیر هم‌خط در $\mathbb{R}^3$ یک صفحه است که از مبدأ عبور می‌کند. به زبان معادله دکارتی، عمود بر بردار نرمال $n = v_1 \times v_2$ است و به فرم $ax + by + cz = 0$ بیان می‌شود.

۴. حالت $\dim U = 3$: چون $U$ زیرفضایی از $\mathbb{R}^3$ است و بعد آن برابر با بعد فضای مادر است ($\dim U = \dim \mathbb{R}^3 = 3$)، طبق قضیه ۳۶.۲، داریم:

$$U = \mathbb{R}^3$$

نتیجه: زیرفضاهای $\mathbb{R}^3$ دقیقاً و منحصراً این چهار شیء هندسی هستند. $\blacksquare$

صفحات غیر مبدأ

• هر معادله به فرم $ax + by + cz = d$ با $d \neq 0$ اگرچه یک صفحه در $\mathbb{R}^3$ است، اما زیرفضا نیست! وجود مبدأ در زیرفضا شرط لازم است.