صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \big\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{F}) : p(2) = p(5) \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U \oplus W$.

حل گام‌به‌گام

بخش الف: ساخت پایه برای $U$

چندجمله‌ای‌های زیر را تعریف می‌کنیم:

$$u_0(x) = 1$$

$$u_1(x) = (x - 2)(x - 5) = x^2 - 7x + 10$$

$$u_2(x) = x(x - 2)(x - 5) = x^3 - 7x^2 + 10x$$

$$u_3(x) = x^2(x - 2)(x - 5) = x^4 - 7x^3 + 10x^2$$

• بررسی عضویت در $U$:
  • برای $u_0$: مقدار در ۲ و ۵ برابر ۱ است ($1 = 1$). پس $u_0 \in U$.
  • برای $k \in \{1, 2, 3\}$: چون عامل $(x - 2)(x - 5)$ دارند، $u_k(2) = 0$ و $u_k(5) = 0$؛ پس $u_k(2) = u_k(5) = 0$ و در نتیجه $u_k \in U$. همچنین حداکثر درجه ۴ است.
• استقلال خطی: درجات این چهار چندجمله‌ای عبارتند از: $$\deg(u_0) = 0, \quad \deg(u_1) = 2, \quad \deg(u_2) = 3, \quad \deg(u_3) = 4$$ چون درجات متمایزند، این ۴ چندجمله‌ای مستقل خطی هستند.
• مولد بودن: هر $p \in U$ را به فرم $p(x) = p(2) + (x - 2)(x - 5)(c_0 + c_1 x + c_2 x^2)$ بسط می‌دهیم، که دقیقاً ترکیبی خطی از $u_0, u_1, u_2, u_3$ است. بنابراین $(1, (x-2)(x-5), x(x-2)(x-5), x^2(x-2)(x-5))$ یک پایه برای $U$ است و $\dim U = 4$.

بخش ب: گسترش به پایه $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$

چندجمله‌ای درجه یک $v(x) = x$ را اضافه می‌کنیم:

$$\mathcal{B} = \big( 1, x, (x-2)(x-5), x(x-2)(x-5), x^2(x-2)(x-5) \big)$$

درجات این ۵ چندجمله‌ای عبارتند از $0, 1, 2, 3, 4$ که متمایزند. بنابراین مستقل خطی بوده و چون طول آن ۵ و برابر $\dim \mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ است، یک پایه برای $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ می‌باشد.

بخش ج: تعیین متمم مستقیم $W$

قرار می‌دهیم:

$$W = \operatorname{span}(x) = \{ cx : c \in \mathbb{F} \}$$

• بررسی اشتراک: فرض کنید $f \in U \cap W$. چون $f \in W$، پس $f(x) = cx$. چون $f \in U$، باید $f(2) = f(5)$ باشد: $$2c = 5c \implies 3c = 0 \implies c = 0 \implies f = 0$$ بنابراین $U \cap W = \{0\}$.
• بررسی جمع: با فرمول گراسمن: $$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W) = 4 + 1 - 0 = 5 = \dim \mathcal{P}_4(\mathbb{F})$$ پس $U + W = \mathcal{P}_4(\mathbb{F})$. بنابراین $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U \oplus W$. $\blacksquare$

شرط مشخصه میدان

• در تساوی $3c = 0 \implies c = 0$، فرض بر این است که مشخصه میدان ۳ نیست (که در $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$ همواره برقرار است چون مشخصه صفر است).