صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \big\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{F}) : p(2) = p(5) = p(6) \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U \oplus W$.

حل گام‌به‌گام

بخش الف: ساخت پایه برای $U$

چندجمله‌ای‌های زیر را تعریف می‌کنیم:

$$u_0(x) = 1$$

$$u_1(x) = (x - 2)(x - 5)(x - 6)$$

$$u_2(x) = x(x - 2)(x - 5)(x - 6)$$

• عضویت در $U$:
  • $u_0(2) = u_0(5) = u_0(6) = 1 \implies u_0 \in U$.
  • برای $u_1$ و $u_2$ در هر سه نقطه مقدار صفر است: $u_k(2) = u_k(5) = u_k(6) = 0$. درجات آن‌ها به ترتیب ۰، ۳ و ۴ است که همگی $\le 4$ هستند.
• استقلال خطی: درجات برابر $0, 3, 4$ هستند. چون درجات متمایزند، این سه چندجمله‌ای مستقل خطی‌اند.
• مولد بودن: هر $p \in U$ را می‌توان به فرم $p(x) = p(2) + (x - 2)(x - 5)(x - 6)(a + bx)$ نوشت که ترکیبی از $u_0, u_1, u_2$ است. بنابراین $(1, (x-2)(x-5)(x-6), x(x-2)(x-5)(x-6))$ یک پایه برای $U$ است و $\dim U = 3$.

بخش ب: گسترش به پایه $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$

چندجمله‌ای‌های $v_1(x) = x$ و $v_2(x) = x^2$ را به لیست اضافه می‌کنیم:

$$\mathcal{B} = \big( 1, x, x^2, (x-2)(x-5)(x-6), x(x-2)(x-5)(x-6) \big)$$

درجات این ۵ چندجمله‌ای دقیقاً عبارتند از $0, 1, 2, 3, 4$ که متمایزند. بنابراین این ۵ عضو مستقل خطی هستند و چون طول لیست مساوی ۵ یعنی $\dim \mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ است، پایه‌ای برای $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ می‌باشند.

بخش ج: تعیین متمم مستقیم $W$

قرار می‌دهیم:

$$W = \operatorname{span}(x, x^2) = \big\{ ax + bx^2 : a, b \in \mathbb{F} \big\}$$

• بررسی اشتراک: فرض کنید $q(x) = ax + bx^2 \in U \cap W$. چون $q \in U$، باید $q(2) = q(5) = q(6)$ باشد: $$2a + 4b = 5a + 25b \implies 3a + 21b = 0 \implies a + 7b = 0$$ $$2a + 4b = 6a + 36b \implies 4a + 32b = 0 \implies a + 8b = 0$$ تفاضل دو رابطه می‌دهد: $b = 0 \implies a = 0$. بنابراین $q(x) = 0$ و $U \cap W = \{0\}$.
• بررسی ابعاد: با فرمول گراسمن: $$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W) = 3 + 2 - 0 = 5 = \dim \mathcal{P}_4(\mathbb{F})$$ بنابراین $\mathcal{P}_4(\mathbb{F}) = U \oplus W$. $\blacksquare$

صفر شدن در اشتراک

• در بررسی اشتراک، دستگاه ۲ معادله و ۲ مجهول حاصل از نقاط آزمایشی دترمینان ناصفر دارد ($1(8) - 7(1) = 1 \neq 0$)، پس تنها جواب بدیهی $a=b=0$ است.