صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، قضیه ۴۳.۲ و تمرین‌های بخش ۳.۲)

بخش الف (اثبات فرمول گراسمن): قضیه بعد برای مجموع دو زیرفضا (فرمول گراسمن) را اثبات کنید: نشان دهید اگر $U$ و $W$ دو زیرفضای با بعد متناهی از فضای برداری $V$ باشند، آنگاه:

$$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$$

بخش ب (تحلیل ابعاد دو صفحه در $\mathbb{R}^4$): فرض کنید $U$ و $W$ دو صفحه دو‌بعدی گذرنده از مبدا در $\mathbb{R}^4$ باشند ($\dim U = \dim W = 2$).

1. با استفاده از فرمول گراسمن، مقادیر ممکن برای بعد اشتراک ($\dim(U \cap W)$) و بعد مجموع ($\dim(U + W)$) را مشخص کنید.
2. نشان دهید بر خلاف $\mathbb{R}^3$ (که در آن دو صفحه همواره در حداقل یک خط مشترک متقاطع هستند)، در $\mathbb{R}^4$ ممکن است دو صفحه تنها در مبدا مختصات تقاطع داشته باشند ($U \cap W = \{0\}$). برای این حالت یک مثال صریح ارائه دهید.

بخش ج (محاسبه عددی با معادلات در $\mathbb{R}^4$): زیرفضاهای $U$ و $W$ در $\mathbb{R}^4$ با معادلات زیر تعریف شده‌اند:

$$U = \big\{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1 + x_2 = 0, \; x_3 + x_4 = 0 \big\}$$

$$W = \big\{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1 - x_3 = 0, \; x_2 - x_4 = 0 \big\}$$

بعد زیرفضاهای $U$، $W$، $U \cap W$ و $U + W$ را محاسبه کنید.

اثبات کامل قضیه گراسمن و محاسبات ابعاد

بخش الف: اثبات فرمول گراسمن (قضیه ۴۳.۲ آکسلر)

گام اول (انتخاب پایه اشتراک): زیرفضای $U \cap W$ یک زیرفضا از فضای با بعد متناهی است، بنابراین پایه‌ای دارد. فرض کنید:

$$(v_1, \dots, v_m)$$

یک پایه از $U \cap W$ باشد. بنابراین:

$$\dim(U \cap W) = m$$

گام دوم (گسترش به پایه‌های $U$ و $W$): چون $(v_1, \dots, v_m)$ در $U$ مستقل خطی است، طبق قضیه گسترش پایه (۳۲.۲ آکسلر)، می‌توان آن را با بردارهای $u_1, \dots, u_j$ به یک پایه از $U$ گسترش داد:

$$\mathcal{B}_U = (v_1, \dots, v_m, \, u_1, \dots, u_j) \implies \dim U = m + j$$

مشابهاً چون $(v_1, \dots, v_m)$ در $W$ نیز مستقل خطی است، می‌توان آن را با بردارهای $w_1, \dots, w_k$ به یک پایه از $W$ گسترش داد:

$$\mathcal{B}_W = (v_1, \dots, v_m, \, w_1, \dots, w_k) \implies \dim W = m + k$$

گام سوم (ادعا: ساخت پایه برای $U + W$): ادعا می‌کنیم لیست ترکیبی زیر یک پایه برای $U + W$ است:

$$\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_m, \, u_1, \dots, u_j, \, w_1, \dots, w_k) \quad \text{--- (۱)}$$

۱. اثبات مولد بودن لیست $\mathcal{B}$ برای $U + W$: هر عنصر از $U + W$ به صورت $u + w$ است که $u \in U$ و $w \in W$. چون $u \in \operatorname{span}(\mathcal{B}_U)$ و $w \in \operatorname{span}(\mathcal{B}_W)$، پس $u + w$ ترکیبی خطی از بردارهای $v_i, u_i, w_i$ است. بنابراین:

$$\operatorname{span}(\mathcal{B}) = U + W$$

۲. اثبات استقلال خطی لیست $\mathcal{B}$: فرض کنید یک ترکیب خطی از اعضای لیست $\mathcal{B}$ برابر بردار صفر باشد:

$$a_1 v_1 + \dots + a_m v_m + b_1 u_1 + \dots + b_j u_j + c_1 w_1 + \dots + c_k w_k = 0 \quad \text{--- (۲)}$$

جملات شامل $w$ را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

$$c_1 w_1 + \dots + c_k w_k = - (a_1 v_1 + \dots + a_m v_m + b_1 u_1 + \dots + b_j u_j)$$

عبارت سمت چپ ترکیبی خطی از اعضای $W$ است، پس متعلق به $W$ است. عبارت سمت راست ترکیبی خطی از اعضای پایه $U$ است، پس متعلق به $U$ است. بنابراین بردار حاصل، هم در $U$ و هم در $W$ است؛ یعنی:

$$c_1 w_1 + \dots + c_k w_k \in U \cap W$$

اما می‌دانیم که $(v_1, \dots, v_m)$ پایه‌ای برای $U \cap W$ است. بنابراین اسکالرهایی مانند $d_1, \dots, d_m$ وجود دارند به طوری که:

$$c_1 w_1 + \dots + c_k w_k = d_1 v_1 + \dots + d_m v_m$$

با جابه‌جایی جملات:

$$d_1 v_1 + \dots + d_m v_m - c_1 w_1 - \dots - c_k w_k = 0$$

اما لیست $(v_1, \dots, v_m, w_1, \dots, w_k)$ طبق ساختار، پایه $W$ است و بنابراین مستقل خطی است! پس تمام ضرایب باید صفر باشند:

$$c_1 = \dots = c_k = 0 \quad (\text{و } d_1 = \dots = d_m = 0)$$

حال که مشخص شد تمام $c_i = 0$ هستند، این مقادیر را در معادله اصلی (۲) قرار می‌دهیم:

$$a_1 v_1 + \dots + a_m v_m + b_1 u_1 + \dots + b_j u_j = 0$$

اما لیست $(v_1, \dots, v_m, u_1, \dots, u_j)$ پایه $U$ است و مستقل خطی است؛ بنابراین:

$$a_1 = \dots = a_m = b_1 = \dots = b_j = 0$$

نتیجه: تمام ضرایب $a_i, b_i, c_i$ صفر هستند و لیست $\mathcal{B}$ مستقل خطی است.

گام چهارم (شمارش ابعاد و نتیجه نهایی): چون $\mathcal{B}$ پایه $U + W$ است:

$$\dim(U + W) = m + j + k$$

از طرفی:

$$\dim U + \dim W - \dim(U \cap W) = (m + j) + (m + k) - m = m + j + k$$

بنابراین تساوی گراسمن با استواری اثبات شد:

$$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W) \quad \blacksquare$$

---

بخش ب: تحلیل هندسی دو صفحه در $\mathbb{R}^4$

فرض شده $\dim U = 2$ و $\dim W = 2$ در فضا $\mathbb{R}^4$. طبق فرمول گراسمن:

$$\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U + W) = 2 + 2 - \dim(U + W) = 4 - \dim(U + W)$$

چون $U \subseteq U + W \subseteq \mathbb{R}^4$، بعد جمع می‌تواند مقادیر ۲، ۳ یا ۴ به خود بگیرد:

1. حالت اول: $\dim(U + W) = 4$ $$\dim(U \cap W) = 4 - 4 = 0 \implies U \cap W = \{0\}$$ دو صفحه تنها در مبدا مختصات تقاطع دارند و جمع آن‌ها کل فضا را می‌سازد: $\mathbb{R}^4 = U \oplus W$.
2. حالت دوم: $\dim(U + W) = 3$ $$\dim(U \cap W) = 4 - 3 = 1$$ دو صفحه در یک خط (زیرفضای یک‌بعدی) با هم تقاطع دارند و مجموع آن‌ها یک ابرصفحه سه‌بعدی می‌سازد.
3. حالت سوم: $\dim(U + W) = 2$ $$\dim(U \cap W) = 4 - 2 = 2 \implies U = W$$ دو صفحه بر یکدیگر منطبق هستند.

مقایسه با $\mathbb{R}^3$: در $\mathbb{R}^3$، چون بعد کل فضا ۳ است، حداکثر بعد جمع ۳ است. بنابراین:

$$\dim(U \cap W) = 2 + 2 - \dim(U + W) \ge 4 - 3 = 1$$

یعنی در $\mathbb{R}^3$ دو صفحه حداقل در یک خط متقاطعند و تقاطع صفر غیرممکن است. اما در $\mathbb{R}^4$، بعد فضا اجازه می‌دهد $\dim(U+W)=4$ شود و در نتیجه تقاطع صفر باشد. مثال صریح در $\mathbb{R}^4$:

$$U = \operatorname{span}(e_1, e_2) = \{ (x_1, x_2, 0, 0) : x_1, x_2 \in \mathbb{R} \}$$

$$W = \operatorname{span}(e_3, e_4) = \{ (0, 0, x_3, x_4) : x_3, x_4 \in \mathbb{R} \}$$

هر دو صفحه دوبعدی هستند و اشتراک آن‌ها به وضوح تنها بردار $(0, 0, 0, 0)$ است: $U \cap W = \{0\}$.

---

بخش ج: حل عددی با دستگاه معادلات در $\mathbb{R}^4$

۱. بعد و پایه $U$:

$$x_1 + x_2 = 0 \implies x_2 = -x_1$$

$$x_3 + x_4 = 0 \implies x_4 = -x_3$$

بردار عمومی: $(x_1, -x_1, x_3, -x_3) = x_1(1, -1, 0, 0) + x_3(0, 0, 1, -1)$. این دو بردار مستقل هستند، پس:

$$\dim U = 2, \quad \text{پایه } U = \big( (1, -1, 0, 0), \; (0, 0, 1, -1) \big)$$

۲. بعد و پایه $W$:

$$x_1 - x_3 = 0 \implies x_3 = x_1$$

$$x_2 - x_4 = 0 \implies x_4 = x_2$$

بردار عمومی: $(x_1, x_2, x_1, x_2) = x_1(1, 0, 1, 0) + x_2(0, 1, 0, 1)$. این دو بردار مستقل هستند، پس:

$$\dim W = 2, \quad \text{پایه } W = \big( (1, 0, 1, 0), \; (0, 1, 0, 1) \big)$$

۳. بعد و پایه اشتراک $U \cap W$: برداری که در هر دو صدق کند باید هر ۴ معادله را ارضا کند:

$$\begin{cases} x_2 = -x_1 \\ x_4 = -x_3 \\ x_3 = x_1 \\ x_4 = x_2 \end{cases} \implies x_4 = -x_3 = -x_1 \quad \text{و} \quad x_4 = x_2 = -x_1$$

هر دو به یک قید منجر می‌شوند: $x_2 = -x_1$، $x_3 = x_1$، $x_4 = -x_1$. بنابراین هر بردار اشتراک به فرم زیر است:

$$(x_1, -x_1, x_1, -x_1) = x_1(1, -1, 1, -1)$$

این یک خط (زیرفضای یک‌بعدی) است! بنابراین:

$$\dim(U \cap W) = 1, \quad \text{پایه } U \cap W = \big( (1, -1, 1, -1) \big)$$

۴. محاسبه بعد مجموع $U + W$ با فرمول گراسمن:

$$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W) = 2 + 2 - 1 = 3$$

بنابراین مجموع دو صفحه، یک زیرفضای سه‌بعدی در $\mathbb{R}^4$ است. $\blacksquare$

هشدارهای طلایی در مسائل فرمول گراسمن

1. اشتباه در برابری $\dim(U \cap W) \stackrel{?}{=} 0$ در $\mathbb{R}^3$: هیچ‌گاه فراموش نکنید که دو صفحه در $\mathbb{R}^3$ نمی‌توانند اشتراک صفر داشته باشند ($2+2-3=1$). این ویژگی خاص بعد ۴ و بالاتر است.
2. استفاده از فرمول شمول و طرد مجموعه‌ها بدون اثبات: اثبات گراسمن نیازمند ساخت پایه ترکیبی و اثبات استقلال خطی از طریق انتقال جملات به سمت دیگر است. هرگز صرفاً با استناد به نمودار ون اثبات نکنید (زیرفضاها مجموعه گسسته نیستند).
3. عدم بررسی دستگاه برای اشتراک: هنگام پیدا کردن پایه اشتراک، حتماً هر ۴ قید را همزمان در نظر بگیرید و به تعداد متغیرهای آزاد دستگاه توجه کنید.