صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $V_1, \dots, V_m$ زیرفضاهای با بعد متناهی از $V$ هستند. ثابت کنید $V_1 + \dots + V_m$ با بعد متناهی است و:

$$\dim(V_1 + \dots + V_m) \le \dim V_1 + \dots + \dim V_m$$

اثبات به روش استقرای ریاضی

گام اول: اثبات بعد متناهی بودن برای هر $i \in \{1, \dots, m\}$، چون $V_i$ بعد متناهی است، پایه‌ای متناهی مانند $\mathcal{B}_i$ برای آن وجود دارد. لیست الحاقی زیر را تشکیل می‌دهیم:

$$\mathcal{B} = \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 \cup \dots \cup \mathcal{B}_m$$

هر عضو از مجموع $\sum v_i$ به وضوح در اسپن لیست متناهی $\mathcal{B}$ است. چون $V_1 + \dots + V_m$ توسط یک لیست با طول متناهی ($\sum \dim V_i$) اسپن می‌شود، بنا به تعریف یک فضای با بعد متناهی است.

گام دوم: بررسی پایه استقرا ($m = 1$ و $m = 2$)

• برای $m = 1$: $\dim V_1 \le \dim V_1$ که تساوی بدیهی است.
• برای $m = 2$: طبق فرمول ابعاد گراسمن (قضیه ۳۹.۲ آکسلر): $$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$$ از آنجا که بعد هر زیرفضا عددی نامنفی است ($\dim(V_1 \cap V_2) \ge 0$): $$-\dim(V_1 \cap V_2) \le 0$$ در نتیجه: $$\dim(V_1 + V_2) \le \dim V_1 + \dim V_2 \quad \text{--- (پایه استقرا)}$$

گام سوم: گام استقرا فرض کنید این حکم برای هر $m - 1$ زیرفضا برقرار باشد (فرض استقرا):

$$\dim(V_1 + \dots + V_{m-1}) \le \dim V_1 + \dots + \dim V_{m-1}$$

حال مجموع $m$ زیرفضا را در نظر می‌گیریم و زیرفضای $U = V_1 + \dots + V_{m-1}$ را تعریف می‌کنیم. پس مجموع برابر است با $U + V_m$. با اعمال نتیجه گام دوم روی دو زیرفضای $U$ و $V_m$:

$$\dim(V_1 + \dots + V_m) = \dim(U + V_m) \le \dim U + \dim V_m$$

حال به جای $\dim U$، فرض استقرا را جایگذاری می‌کنیم:

$$\dim(U + V_m) \le (\dim V_1 + \dots + \dim V_{m-1}) + \dim V_m$$

بنابراین:

$$\dim(V_1 + \dots + V_m) \le \sum_{i=1}^m \dim V_i$$

گام استقرا کامل شد. $\blacksquare$

شرط وقوع تساوی

• تساوی در این نامساوی برقرار است اگر و فقط اگر مجموع داده شده یک جمع مستقیم باشد: $$\dim(V_1 + \dots + V_m) = \sum_{i=1}^m \dim V_i \iff V_1 + \dots + V_m = V_1 \oplus \dots \oplus V_m$$ این موضوع در قضیه ۴۰.۲ آکسلر اثبات شده است.