صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، قضیه ۳۲.۲ و تمرین‌های بخش ۲.۲)

بخش الف (قضیه تعمیم): قضیه گسترش پایه را بیان و اثبات کنید: نشان دهید هر لیست مستقل خطی از بردارها در یک فضای برداری با بعد متناهی $V$ را می‌توان به یک پایه از $V$ گسترش داد.

بخش ب (حل عددی گام‌به‌گام در $\mathbb{R}^4$): فرض کنید دو بردار زیر در $\mathbb{R}^4$ داده شده باشند:

$$u_1 = (1, 1, 0, 0), \quad u_2 = (1, 0, 1, 0)$$

1. ثابت کنید لیست $(u_1, u_2)$ در $\mathbb{R}^4$ مستقل خطی است.
2. با استفاده از الگوریتم ساختاری آکسلر (الحاق پایه‌ استاندارد $\mathbb{R}^4$ و غربالگری)، این لیست دو عضوی را به یک پایه ۴ عضوی برای $\mathbb{R}^4$ گسترش دهید.
3. یک زیرفضای مکمل $W$ در $\mathbb{R}^4$ مشخص کنید به طوری که $\mathbb{R}^4 = \operatorname{span}(u_1, u_2) \oplus W$.

حل جامع و الگوریتمی

بخش الف: اثبات قضیه گسترش لیست مستقل خطی به پایه (قضیه ۳۲.۲ آکسلر)

گام اول: فرض کنید $u_1, \dots, u_m$ یک لیست مستقل خطی در فضای با بعد متناهی $V$ باشد. چون $V$ با بعد متناهی است، یک لیست مولد مانند $w_1, \dots, w_n$ برای $V$ وجود دارد.

گام دوم: لیست الحاقی زیر را تشکیل می‌دهیم:

$$L = (u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_n)$$

چون این لیست شامل $w_1, \dots, w_n$ است، قطعاً کل فضا $V$ را گسترش می‌دهد:

$$\operatorname{span}(L) = V$$

گام سوم: الگوریتم کاهش لم وابستگی خطی را از چپ به راست روی لیست $L$ اعمال می‌کنیم:

• بردار $u_1 \neq 0$ است (زیرا لیست $u$ها مستقل خطی است). پس $u_1$ حذف نمی‌شود.
• به ازای هر $j \in \{2, \dots, m\}$، بردار $u_j \notin \operatorname{span}(u_1, \dots, u_{j-1})$ (زیرا زیرلیست $u_1, \dots, u_m$ مستقل خطی است). پس هیچ‌یک از بردارهای $u$ حذف نخواهند شد.
• سپس نوبت به بردارهای $w_1, \dots, w_n$ می‌رسد: هر $w_k$ که در گستره بردارهای حفظ‌شده قبلی قرار داشته باشد حذف می‌گردد و در غیر این صورت نگه داشته می‌شود.

گام چهارم: فرآیند غربالگری پس از $m+n$ مرحله خاتمه می‌یابد. لیست باقیمانده شامل تمام بردارهای $u_1, \dots, u_m$ و تعدادی از بردارهای $w$ (مثلاً $w_{i_1}, \dots, w_{i_k}$) است. بر طبق لم وابستگی خطی، حذف بردارهای زائد گستره را تغییر نداده است؛ بنابراین لیست باقیمانده هنوز کل $V$ را گسترش می‌دهد و در عین حال هیچ برداری ترکیبی از بردارهای قبلی خود نیست؛ پس مستقل خطی است. بنابراین این لیست یک پایه برای $V$ است که شامل لیست اولیه $u_1, \dots, u_m$ می‌باشد. $\blacksquare$

---

بخش ب: اجرای محاسباتی در $\mathbb{R}^4$

۱. اثبات استقلال خطی $u_1 = (1, 1, 0, 0)$ و $u_2 = (1, 0, 1, 0)$: ترکیب خطی صفر را می‌نویسیم:

$$c_1 u_1 + c_2 u_2 = c_1(1, 1, 0, 0) + c_2(1, 0, 1, 0) = (c_1 + c_2, \, c_1, \, c_2, \, 0) = (0, 0, 0, 0)$$

با مساوی قرار دادن مؤلفه‌ها:

• مؤلفه دوم: $c_1 = 0$
• مؤلفه سوم: $c_2 = 0$ بنابراین تنها ترکیب ممکن، ضرایب صفر است؛ پس $(u_1, u_2)$ مستقل خطی است.

۲. گسترش به پایه $\mathbb{R}^4$: پایه استاندارد را الحاق می‌کنیم:

$$L = \big( u_1, \, u_2, \, e_1, \, e_2, \, e_3, \, e_4 \big)$$

که در آن:

$$e_1 = (1, 0, 0, 0), \; e_2 = (0, 1, 0, 0), \; e_3 = (0, 0, 1, 0), \; e_4 = (0, 0, 0, 1)$$

اکنون بردارهای $e_i$ را ارزیابی می‌کنیم:

• بررسی $e_1 = (1, 0, 0, 0)$: آیا $e_1 \in \operatorname{span}(u_1, u_2)$؟

  $$(1, 0, 0, 0) \stackrel{?}{=} a(1, 1, 0, 0) + b(1, 0, 1, 0) = (a + b, \, a, \, b, \, 0)$$

  از مؤلفه دوم: $a = 0$. از مؤلفه سوم: $b = 0$. پس مؤلفه اول باید $a + b = 0$ باشد، در حالی که در $e_1$ مؤلفه اول برابر ۱ است ($1 \neq 0$). تناقض! پس:

  $$e_1 \notin \operatorname{span}(u_1, u_2)$$

  بنابراین $e_1$ نگه داشته می‌شود و به لیست پایه اضافه می‌گردد. لیست مستقل ما تا اینجا ۳ عضوی است: $(u_1, u_2, e_1)$.

• بررسی $e_2 = (0, 1, 0, 0)$: آیا $e_2 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, e_1)$؟ به سادگی ملاحظه می‌شود که:

  $$u_1 - e_1 = (1, 1, 0, 0) - (1, 0, 0, 0) = (0, 1, 0, 0) = e_2$$

  یعنی $e_2$ در گستره بردارهای قبلی قرار دارد:

  $$e_2 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, e_1)$$

  طبق لم وابستگی خطی، $e_2$ زائد است و حذف می‌شود.

• بررسی $e_3 = (0, 0, 1, 0)$: آیا $e_3 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, e_1)$؟ مشابهاً:

  $$u_2 - e_1 = (1, 0, 1, 0) - (1, 0, 0, 0) = (0, 0, 1, 0) = e_3$$

  یعنی $e_3$ نیز ترکیبی از بردارهای قبلی است:

  $$e_3 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, e_1)$$

  بنابراین $e_3$ زائد است و حذف می‌شود.

• بررسی $e_4 = (0, 0, 0, 1)$: آیا $e_4 \in \operatorname{span}(u_1, u_2, e_1)$؟ تمام بردارهای $u_1, u_2, e_1$ در مؤلفه چهارم خود عدد ۰ دارند:

  $$a(1, 1, 0, 0) + b(1, 0, 1, 0) + c(1, 0, 0, 0) = (*, *, *, 0)$$

  هر ترکیب خطی از آن‌ها در مؤلفه چهارم حتماً صفر است، در حالی که مؤلفه چهارم $e_4$ برابر ۱ است. پس غیرممکن است که $e_4$ در گستره آن‌ها باشد:

  $$e_4 \notin \operatorname{span}(u_1, u_2, e_1)$$

  بنابراین $e_4$ نگه داشته می‌شود.

نتیجه گسترش پایه: لیست نهایی ۴ بردار مستقل خطی در $\mathbb{R}^4$ است که یک پایه تشکیل می‌دهند:

$$\mathcal{B} = \big( u_1, \, u_2, \, e_1, \, e_4 \big) = \big( (1, 1, 0, 0), \; (1, 0, 1, 0), \; (1, 0, 0, 0), \; (0, 0, 0, 1) \big)$$

۳. ساخت زیرفضای مکمل مستقیم $W$: با استفاده از بردارهای جدید افزوده شده ($e_1$ و $e_4$)، زیرفضای $W$ را تعریف می‌کنیم:

$$W = \operatorname{span}(e_1, e_4) = \big\{ (x_1, 0, 0, x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1, x_4 \in \mathbb{R} \big\}$$

طبق قضیه ۳۳.۲ و ۴۶.۱ کتاب آکسلر:

$$\mathbb{R}^4 = \operatorname{span}(u_1, u_2) \oplus W \quad \blacksquare$$

نکات باریک‌تر از مو در آزمون

1. حدس زدن بردار بدون فرآیند الگوریتمی: نوشتن یک پاسخ درست بدون نشان دادن روش الحاق پایه استاندارد و آزمون گستره ممکن است نمره کامل نگبرد. استادان بر دیدن فرآیند «حذف بردار زائد» تأکید دارند.
2. چک کردن سریع با مؤلفه صفر: همیشه به دنبال مؤلفه‌هایی بگردید که در تمام بردارهای موجود صفر هستند (مانند مؤلفه چهارم که در $u_1$ و $u_2$ صفر بود). برداری با مؤلفه ۱ در آن سطر (مانند $e_4$) بلافاصله مستقل خواهد بود و در یک سطر اثبات می‌شود.
3. یکتایی پایه مکمل: به یاد داشته باشید که زیرفضای مکمل مستقیم یکتا نیست. انتخاب $e_2$ و $e_4$ نیز می‌توانست کار کند؛ اما پایه به دست آمده از الگوریتم استاندارد همواره معتبر و منظم است.