صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید:

$$U = \big\{ p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) : p''(6) = 0 \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه در (الف) را به یک پایه از $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ پیدا کنید به طوری که $\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) = U \oplus W$.

حل دقیق

بخش الف: یافتن پایه $U$

توان‌های بسط تیلور را بدون توان ۲ در نظر می‌گیریم:

$$q_0(x) = 1$$

$$q_1(x) = x - 6$$

$$q_3(x) = (x - 6)^3$$

$$q_4(x) = (x - 6)^4$$

• بررسی شرط:
  • $q_0''(6) = 0$
  • $q_1''(6) = 0$
  • $q_3''(x) = 6(x - 6) \implies q_3''(6) = 0$
  • $q_4''(x) = 12(x - 6)^2 \implies q_4''(6) = 0$ بنابراین هر ۴ چندجمله‌ای در $U$ هستند.
• استقلال خطی: درجات آن‌ها به ترتیب $0, 1, 3, 4$ متمایز است، پس مستقل خطی‌اند.
• مولد بودن: هر $p \in U$ دارای بسط $p(x) = a_0 + a_1(x-6) + a_3(x-6)^3 + a_4(x-6)^4$ است که ترکیبی از این ۴ عضو است. بنابراین $(1, x - 6, (x - 6)^3, (x - 6)^4)$ پایه‌ای برای $U$ است و $\dim U = 4$.

بخش ب: گسترش به پایه $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$

چندجمله‌ای غایب $q_2(x) = (x - 6)^2$ را به لیست اضافه می‌کنیم:

$$\big( 1, (x - 6), (x - 6)^2, (x - 6)^3, (x - 6)^4 \big)$$

این ۵ عضو درجات متمایز $0, 1, 2, 3, 4$ دارند، پس مستقل خطی و پایه‌ای برای $\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ هستند.

بخش ج: متمم مستقیم $W$

قرار می‌دهیم:

$$W = \operatorname{span}\big( (x - 6)^2 \big) = \big\{ c(x - 6)^2 : c \in \mathbb{R} \big\}$$

• جمع: هر $p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{R})$ به صورت $p(x) = \left[ p(x) - \frac{p''(6)}{2}(x-6)^2 \right] + \frac{p''(6)}{2}(x-6)^2$ نوشته می‌شود که جمله اول در $U$ و جمله دوم در $W$ است.
• اشتراک: اگر $f \in U \cap W$ باشد، چون $f \in W$ داریم $f(x) = c(x-6)^2$. پس $f''(6) = 2c$. چون $f \in U$، باید $f''(6) = 0$ باشد؛ پس $2c = 0 \implies c = 0 \implies f = 0$. بنابراین $\mathcal{P}_4(\mathbb{R}) = U \oplus W$. $\blacksquare$

کار با بسط تیلور به جای فرم کانونیکال

• کار با پایه $(x-a)^k$ محاسبات مشتق را بی‌نهایت ساده‌تر از پایه استاندارد $(1, x, x^2, \dots)$ می‌کند، زیرا مشتق در نقطه $a$ مستقیماً با ضرایب بسط تیلور جفت می‌شود.