صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر)

فرض کنید $U$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^5$ باشد که به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$U = \big\{ (z_1, z_2, z_3, z_4, z_5) \in \mathbb{C}^5 : 6z_1 = z_2 \text{ و } z_3 + 2z_4 + 3z_5 = 0 \big\}$$

الف) یک پایه برای $U$ پیدا کنید. ب) پایه به دست آمده در (الف) را به یک پایه برای $\mathbb{C}^5$ گسترش دهید. ج) یک زیرفضای $W$ از $\mathbb{C}^5$ پیدا کنید به طوری که $\mathbb{C}^5 = U \oplus W$.

حل گام‌به‌گام

بخش الف: یافتن پایه $U$

بردار دلخواه $z \in U$ را در نظر می‌گیریم:

$$(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5) = (z_1, 6z_1, -2z_4 - 3z_5, z_4, z_5)$$

تفکیک بر حسب متغیرهای آزاد:

$$= z_1 (1, 6, 0, 0, 0) + z_4 (0, 0, -2, 1, 0) + z_5 (0, 0, -3, 0, 1)$$

بردارهای زیر را تعریف می‌کنیم:

$$u_1 = (1, 6, 0, 0, 0), \quad u_2 = (0, 0, -2, 1, 0), \quad u_3 = (0, 0, -3, 0, 1)$$

• مولد بودن: هر بردار $U$ ترکیب خطی از $u_1, u_2, u_3$ با اسکالرهای مختلط است.
• استقلال خطی روی $\mathbb{C}$: اگر $c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3 = 0$، داریم: $$(c_1, 6c_1, -2c_2 - 3c_3, c_2, c_3) = (0, 0, 0, 0, 0)$$ مؤلفه ۱ می‌دهد $c_1 = 0$، مؤلفه ۴ می‌دهد $c_2 = 0$ و مؤلفه ۵ می‌دهد $c_3 = 0$. بنابراین $(u_1, u_2, u_3)$ یک پایه برای $U$ است و $\dim_{\mathbb{C}} U = 3$.

بخش ب: گسترش به پایه $\mathbb{C}^5$

بردارهای پایه استاندارد $e_2 = (0, 1, 0, 0, 0)$ و $e_3 = (0, 0, 1, 0, 0)$ را اضافه می‌کنیم. ترکیب خطی مساوی صفر:

$$c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3 + d_1 e_2 + d_2 e_3 = 0$$

$$(c_1, 6c_1 + d_1, -2c_2 - 3c_3 + d_2, c_2, c_3) = (0, 0, 0, 0, 0)$$

• مؤلفه اول: $c_1 = 0 \implies d_1 = 6(0) + d_1 = 0$.
• مؤلفه چهارم و پنجم: $c_2 = 0, c_3 = 0 \implies d_2 = 0$. تمام ضرایب صفر هستند؛ لذا این ۵ بردار مستقل خطی‌اند. چون $\dim \mathbb{C}^5 = 5$، این ۵ بردار پایه‌ای برای $\mathbb{C}^5$ هستند.

بخش ج: یافتن متمم مستقیم $W$

قرار می‌دهیم:

$$W = \operatorname{span}(e_2, e_3) = \big\{ (0, w_2, w_3, 0, 0) \in \mathbb{C}^5 : w_2, w_3 \in \mathbb{C} \big\}$$

• جمع: $\mathbb{C}^5 = U + W$ زیرا اسپن اجتماع پایه‌های آنها کل فضا را می‌سازد.
• اشتراک: اگر $v \in U \cap W$ باشد، از $v \in W$ داریم $v_1 = v_4 = v_5 = 0$. از برقراری معادلات $U$: $v_2 = 6 v_1 = 0$ و $v_3 = -2v_4 - 3v_5 = 0$. پس $v = 0$. بنابراین $U \cap W = \{0\}$. در نتیجه: $\mathbb{C}^5 = U \oplus W$. $\blacksquare$

نکات امتحانی

• توجه به میدان: در $\mathbb{C}^5$ تمام اسکالرها متعلق به $\mathbb{C}$ هستند. اگر فضای برداری حقیقی مد نظر بود بعد فضا ۱۰ می‌شد، اما روی $\mathbb{C}$ بعد برابر ۵ است.