برای دقیقاً دو زیرفضا $U$ و $W$، جمع آنها جمع مستقیم است اگر و تنها اگر اشتراک آنها فقط و فقط شامل بردار صفر باشد ($U \cap W = \{\mathbf{0}\}$).

فرض کنید $U$ و $W$ دو زیرفضای دلخواه از فضای برداری $V$ باشند. در این صورت:

به بیان دیگر:

جهت رفت ($\implies$):

فرض کنید $U + W$ یک جمع مستقیم ($U \oplus W$) باشد. می‌خواهیم ثابت کنیم $U \cap W = \{\mathbf{0}\}$.

۱. می‌دانیم که چون $U$ و $W$ زیرفضا هستند، $\mathbf{0} \in U$ و $\mathbf{0} \in W$؛ پس قطعاً $\{\mathbf{0}\} \subseteq U \cap W$. ۲. حال فرض کنید $v \in U \cap W$ یک عضو دلخواه از اشتراک باشد. ۳. از آنجا که $v \in W$ و $W$ یک زیرفضا است، وارون جمعی آن نیز در $W$ است: $-v \in W$. ۴. اکنون بردار صفر را به صورت زیر می‌نویسیم:

۵. طبق قضیه ۴۱.۱، در یک جمع مستقیم تنها راه نوشتن بردار صفر این است که تمام اجزا صفر باشند. بنابراین:

۶. در نتیجه هیچ عضو ناصفری نمی‌تواند در اشتراک حضور داشته باشد؛ پس:

جهت برگشت ($\impliedby$):

فرض کنید $U \cap W = \{\mathbf{0}\}$. می‌خواهیم ثابت کنیم که جمع $U + W$ یک جمع مستقیم است. طبق قضیه ۴۱.۱، کافی است نشان دهیم تنها تجزیه ممکن برای بردار صفر، انتخاب جملات صفر است:

۱. فرض کنید برای عناصری مانند $u \in U$ و $w \in W$ داشته باشیم:

۲. با اضافه کردن $-w$ به دو طرف معادله، به دست می‌آوریم:

۳. از یک سو $u \in U$ است. از سوی دیگر چون $w \in W$ و $W$ زیرفضاست، پس $-w \in W$ است؛ یعنی $u = -w \in W$. ۴. چون بردار $u$ هم در $U$ و هم در $W$ قرار دارد، پس به اشتراک آنها تعلق دارد:

۵. اما طبق فرض، اشتراک تنها شامل بردار صفر است ($U \cap W = \{\mathbf{0}\}$):

۶. با جایگذاری $u = \mathbf{0}$ در معادله اول ($u + w = \mathbf{0}$)، نتیجه می‌گیریم:

۷. بنابراین از $u + w = \mathbf{0}$ نتیجه گرفتیم $u = w = \mathbf{0}$. طبق قضیه ۴۱.۱، این یعنی جمع $U + W$ یک جمع مستقیم است:

این قضیه فقط و فقط برای ۲ زیرفضا معتبر است! اگر ۳ زیرفضا داشته باشیم، ممکن است اشتراک‌های دوبه‌دوی آنها همگی $\{\mathbf{0}\}$ باشند، اما جمع آنها مستقیم نباشد! به عنوان نمونه بارز، مثال ۴۰.۱ آکسلر را به خاطر بیاورید:

اما $V_1 + V_2 + V_3$ جمع مستقیم نبود! آزمون عمومی برای $m$ زیرفضا در قضیه ۴۴.۱ آزمون جمع مستقیم برای چند زیرفضا ارائه شده است.

در $\mathbb{R}^3$، هر دو صفحه گذرنده از مبدا حداقل در یک خط راست اشتراک دارند؛ بنابراین اشتراک آنها هرگز $\{\mathbf{0}\}$ نیست. در نتیجه هیچ دو صفحه‌ای در $\mathbb{R}^3$ نمی‌توانند با هم جمع مستقیم بسازند.