تجزیه بنیادین فضای توابع به بخش‌های متقارن و پادمتقارن

فضای تمام توابع حقیقی $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ را می‌توان به صورت جمع مستقیم دو زیرفضای زیبای توابع زوج ($U_e$) و توابع فرد ($U_o$) نوشت:

$$\mathbb{R}^\mathbb{R} = U_e \oplus U_o$$

این یعنی هر تابعی در جهان ریاضی، یک و دقیقاً یک بخش زوج و یک بخش فرد دارد!

اثبات کامل $\mathbb{R}^\mathbb{R} = U_e \oplus U_o$

گام اول: اثبات اینکه $U_e$ و $U_o$ زیرفضا هستند

برای $U_e$: ۱. تابع صفر $z(x) = 0$ در رابطه $z(-x) = 0 = z(x)$ صدق می‌کند، پس $z \in U_e$. ۲. اگر $f, g \in U_e$، آنگاه $(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f+g)(x)$، پس $f+g \in U_e$. ۳. اگر $c \in \mathbb{R}$ و $f \in U_e$، آنگاه $(cf)(-x) = c f(-x) = c f(x) = (cf)(x)$، پس $cf \in U_e$. بنابراین $U_e$ یک زیرفضاست. به روشی کاملاً مشابه، $U_o$ نیز یک زیرفضاست. $\checkmark$

---

گام دوم: اثبات اینکه $\mathbb{R}^\mathbb{R} = U_e + U_o$ (هر تابع مجموع یک تابع زوج و فرد است)

فرض کنید $f \in \mathbb{R}^\mathbb{R}$ یک تابع کاملاً دلخواه باشد. تابع‌های زیر را تعریف می‌کنیم:

$$f_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$$

$$f_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$$

بیایید زوج بودن $f_e$ را چک کنیم:

$$f_e(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = f_e(x) \implies f_e \in U_e$$

بیایید فرد بودن $f_o$ را چک کنیم:

$$f_o(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -\frac{f(x) - f(-x)}{2} = -f_o(x) \implies f_o \in U_o$$

حالا حاصل‌جمع آنها را محاسبه می‌کنیم:

$$f_e(x) + f_o(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$$

بنابراین هر تابع $f$ را می‌توان به صورت جمع یک تابع زوج و یک تابع فرد نوشت:

$$\mathbb{R}^\mathbb{R} = U_e + U_o \quad \checkmark$$

---

گام سوم: اثبات اشتراک صفر ($U_e \cap U_o = \{\mathbf{0}\}$)

طبق قضیه ۴۲.۱، کافی است نشان دهیم تنها تابعی که همزمان زوج و فرد است، تابع صفر است:

فرض کنید $g \in U_e \cap U_o$.

• چون $g \in U_e$ است: برای هر $x \in \mathbb{R}$ داریم $g(-x) = g(x)$.
• چون $g \in U_o$ است: برای هر $x \in \mathbb{R}$ داریم $g(-x) = -g(x)$. با مساوی قرار دادن این دو رابطه: $$g(x) = -g(x) \implies 2g(x) = 0 \implies g(x) = 0 \quad (\forall x \in \mathbb{R})$$ این معادله می‌گوید مقدار تابع $g$ در تمام نقاط برابر صفر است؛ یعنی $g$ همان تابع همانی جمعی (تابع صفر $\mathbf{0}$) است: $$U_e \cap U_o = \{\mathbf{0}\} \quad \checkmark$$

---

نتیجه نهایی:

از برقراری هر دو شرط، نتیجه می‌گیریم:

$$\mathbb{R}^\mathbb{R} = U_e \oplus U_o \quad \blacksquare$$