مصادیق عینی جمع مستقیم و پاتولوژی همپوشانی

با بررسی هندسی صفحات و خطوط در $\mathbb{R}^3$ می‌بینیم که جمع یک صفحه و یک خط غیرهم‌صفحه چگونه فضای سه‌بعدی را به صورت مستقیم ($\oplus$) تجزیه می‌کند؛ و چگونه اضافه کردن یک زیرفضای اضافی حتی اگر دوبه‌دو اشتراک صفر داشته باشند، خاصیت جمع مستقیم را نابود می‌کند.

اثبات اینکه $\mathbb{R}^3 = U \oplus W$

گام اول: اثبات اینکه $\mathbb{R}^3 = U + W$ هر بردار دلخواه $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ را می‌توان به شکل جمع زیر نوشت:

$$(a, b, c) = \underbrace{(a, b, 0)}_{\in U} + \underbrace{(0, 0, c)}_{\in W}$$

بنابراین هر بردار عضوی از جمع $U + W$ است؛ یعنی $\mathbb{R}^3 = U + W$.

گام دوم: اثبات یکتایی نمایش فرض کنید بردار $(a, b, c)$ نمایش دیگری به صورت $(x, y, 0) + (0, 0, z)$ داشته باشد. در این صورت:

$$(a, b, c) = (x, y, z)$$

با برابری بردارها داریم:

$$x = a, \quad y = b, \quad z = c$$

بنابراین بردار اول باید دقیقاً $(a, b, 0)$ و بردار دوم دقیقاً $(0, 0, c)$ باشد. هیچ گزینه دیگری در جهان ریاضی ممکن نیست! بنابراین این نمایش کاملاً یکتاست و داریم:

$$\mathbb{R}^3 = U \oplus W$$

اثبات $\mathbb{F}^n = V_1 \oplus \dots \oplus V_n$

هر بردار $(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n$ به طور بدیهی برابر است با:

$$(x_1, \dots, x_n) = (x_1, 0, \dots, 0) + (0, x_2, \dots, 0) + \dots + (0, \dots, 0, x_n)$$

از طرفی، اگر $\sum_{k=1}^n v_k = (x_1, \dots, x_n)$ باشد، چون درایه $k$ام سمت چپ فقط از زیرفضای $V_k$ تامین می‌شود، مولفه $k$ام هر $v_k$ باید دقیقاً برابر $x_k$ باشد. پس تجزیه کاملاً منحصر به فرد است و داریم:

$$\mathbb{F}^n = V_1 \oplus \dots \oplus V_n$$

بررسی وضعیت جمع $V_1 + V_2 + V_3$

۱. آیا این زیرفضاها کل فضا را می‌سازند؟ بله! قبلاً دیدیم که حتی $V_1 + V_2$ به تنهایی برابر کل $\mathbb{F}^3$ است، بنابراین:

$$V_1 + V_2 + V_3 = \mathbb{F}^3$$

۲. آیا این جمع مستقیم است؟ خیر! برای اثبات اینکه جمع مستقیم نیست، کافی است بردار صفر $(0, 0, 0)$ را به دو روش متفاوت بازنویسی کنیم:

• روش اول (روش بدیهی):

  $$(0, 0, 0) = \underbrace{(0, 0, 0)}_{\in V_1} + \underbrace{(0, 0, 0)}_{\in V_2} + \underbrace{(0, 0, 0)}_{\in V_3}$$

• روش دوم (تجزیه ناصفر): با انتخاب $y = 1$ در $V_3$ داریم بردار $(0, -1, -1) \in V_3$ (یا با انتخاب $y = -1$). حال داریم:

  $$(0, 0, 0) = \underbrace{(0, 1, 0)}_{\in V_1} + \underbrace{(0, 0, 1)}_{\in V_2} + \underbrace{(0, -1, -1)}_{\in V_3}$$

چون بردار صفر به بیش از یک طریق تولید شده است، نمایش یکتا نقض می‌شود! پس:

$$V_1 + V_2 + V_3 \neq V_1 \oplus V_2 \oplus V_3$$

بزرگترین دام در جمع مستقیم چند زیرفضا

در مثال سوم بالا، بیایید اشتراک‌های دو به دوی زیرفضاها را حساب کنیم:

$$V_1 \cap V_2 = \{(0, 0, 0)\}$$

$$V_1 \cap V_3 = \{(0, y, 0) : y = 0\} = \{(0, 0, 0)\}$$

$$V_2 \cap V_3 = \{(0, 0, z) : z = 0\} = \{(0, 0, 0)\}$$

هر جفت از زیرفضاها اشتراکشان فقط صفر است! اما با این وجود، جمع آنها جمع مستقیم نشد! این پدیده اثبات می‌کند که شرط اشتراک صفر فقط برای ۲ زیرفضا صادق است و برای ۳ زیرفضا به بالا، نیازمند ابزار قدرتمندتری در قضیه ۴۴.۱ هستیم.