رفتن به متن
باغ ریاضی
مثال ۳۷.۱ جمع زیرفضاها در R3
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

مثال ۳۷.۱ جمع زیرفضاها در R3

#مثال#جمع_زیرفضاها#هندسه#تجسم_هندسی#فصل_۱#جبر_خطینسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

مثال ۳۷.۱: جمع زیرفضاها در R3\mathbb{R}^3 و F4\mathbb{F}^4

شهود جمع زیرفضاها در ابعاد ملموس

با ترکیب خطوط و صفحات در R3\mathbb{R}^3 و F4\mathbb{F}^4، می‌توان دید چگونه عمل جمع زیرفضاها، ابعاد را پله‌پله بالا می‌برد: جمع دو خط، یک صفحه می‌سازد؛ جمع دو صفحه ناموازی، کل فضای سه‌بعدی را تولید می‌کند.

۱. مثال اول: جمع دو محور مختصات در R3\mathbb{R}^3

فرض کنید UU محور xxها و WW محور yyها در فضای R3\mathbb{R}^3 باشند:

U={(x,0,0)∈R3:x∈R}U = \{(x, 0, 0) \in \mathbb{R}^3 : x \in \mathbb{R}\}

W={(0,y,0)∈R3:y∈R}W = \{(0, y, 0) \in \mathbb{R}^3 : y \in \mathbb{R}\}
تعیین دقیق U+WU + W

طبق تعریف جمع زیرفضاها، هر عضو از U+WU + W جمع یک عضو از UU و یک عضو از WW است:

(x,0,0)+(0,y,0)=(x+0,0+y,0+0)=(x,y,0)(x, 0, 0) + (0, y, 0) = (x + 0, 0 + y, 0 + 0) = (x, y, 0)

با متغیر بودن x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}، مجموعه حاصل عبارت است از:

U+W={(x,y,0)∈R3:x,y∈R}U + W = \{(x, y, 0) \in \mathbb{R}^3 : x, y \in \mathbb{R}\}

تعبیر هندسی: جمع این دو خط، صفحه دوبعدی xyxy در فضای سه‌بعدی است. توجه کنید که U+W≠R3U + W \neq \mathbb{R}^3؛ زیرا مولفه سوم (zz) همیشه صفر است و نمی‌توان به نقاط خارج از صفحه xyxy دسترسی پیدا کرد.

۲. مثال دوم: جمع دو صفحه متقاطع در R3\mathbb{R}^3

فرض کنید دو صفحه گذرنده از مبدا زیر در R3\mathbb{R}^3 داده شده باشند:

  • صفحه xyxy: P1={(x,y,0):x,y∈R}P_1 = \{(x, y, 0) : x, y \in \mathbb{R}\}
  • صفحه yzyz: P2={(0,y,z):y,z∈R}P_2 = \{(0, y, z) : y, z \in \mathbb{R}\}
اثبات اینکه P1+P2=R3P_1 + P_2 = \mathbb{R}^3

هر بردار دلخواه (a,b,c)∈R3(a, b, c) \in \mathbb{R}^3 را می‌توان به سادگی به صورت زیر تفکیک کرد:

(a,b,c)=(a,0,0)⏟∈P1+(0,b,c)⏟∈P2(a, b, c) = \underbrace{(a, 0, 0)}_{\in P_1} + \underbrace{(0, b, c)}_{\in P_2}

یا حتی به شکل:

(a,b,c)=(a,b/2,0)⏟∈P1+(0,b/2,c)⏟∈P2(a, b, c) = \underbrace{(a, b/2, 0)}_{\in P_1} + \underbrace{(0, b/2, c)}_{\in P_2}

بنابراین هر بردار فضای سه‌بعدی عضوی از P1+P2P_1 + P_2 است؛ یعنی:

P1+P2=R3P_1 + P_2 = \mathbb{R}^3

(نکته ظریف: وجود بیش از یک روش برای تجزیه بردار، نشان می‌دهد که این جمع «مستقیم» نیست؛ موضوعی که در تعریف ۳۹.۱ جمع مستقیم (Direct Sum) بررسی خواهد شد).

۳. مثال سوم (مثال ۳۸.۱ آکسلر): بررسی تحلیلی جمع زیرفضاها در F4\mathbb{F}^4

فرض کنید دو زیرفضا از فضای چهاربعدی F4\mathbb{F}^4 به صورت زیر تعریف شده باشند:

U={(x,x,y,y)∈F4:x,y∈F}U = \{(x, x, y, y) \in \mathbb{F}^4 : x, y \in \mathbb{F}\}

W={(x,x,x,y)∈F4:x,y∈F}W = \{(x, x, x, y) \in \mathbb{F}^4 : x, y \in \mathbb{F}\}

هدف یافتن توصیف دقیق جبری برای U+WU + W است.

اثبات شمول دوطرفه (Double Inclusion)

گام اول: بررسی بردار نمونه در U+WU + W یک عضو عمومی از UU به شکل (a,a,b,b)(a, a, b, b) و یک عضو عمومی از WW به شکل (c,c,c,d)(c, c, c, d) را با هم جمع می‌کنیم (a,b,c,d∈Fa, b, c, d \in \mathbb{F}):

(a,a,b,b)+(c,c,c,d)=(a+c,a+c,b+c,b+d)(a, a, b, b) + (c, c, c, d) = (a + c, a + c, b + c, b + d)

مشاهده می‌کنیم که در بردار حاصل، دو مختصات اول دقیقاً با یکدیگر برابرند (a+c=a+ca+c = a+c). بنابراین، مجموعه U+WU + W قطعاً زیرمجموعه‌ای از تمام بردارهایی است که دو مولفه اول برابر دارند:

U+W⊆{(x1,x1,x3,x4)∈F4:x1,x3,x4∈F}(∗)U + W \subseteq \{(x_1, x_1, x_3, x_4) \in \mathbb{F}^4 : x_1, x_3, x_4 \in \mathbb{F}\} \quad (*)

گام دوم: اثبات شمول در جهت عکس فرض کنید (x1,x1,x3,x4)(x_1, x_1, x_3, x_4) یک بردار دلخواه باشد که در آن دو مولفه اول برابرند. آیا می‌توانیم این بردار را به صورت جمع یک بردار از UU و یک بردار از WW بنویسیم؟ می‌خواهیم اسکالرهای مناسب پیدا کنیم:

(x1,x1,x3,x4)=(x1,x1,x3,x3)⏟∈U+(0,0,0,x4−x3)⏟∈W(x_1, x_1, x_3, x_4) = \underbrace{(x_1, x_1, x_3, x_3)}_{\in U} + \underbrace{(0, 0, 0, x_4 - x_3)}_{\in W}

دقت کنید: ۱. بردار اول یعنی (x1,x1,x3,x3)(x_1, x_1, x_3, x_3) در UU است (زیرا دو مولفه اول برابر و دو مولفه دوم برابرند). ۲. بردار دوم یعنی (0,0,0,x4−x3)(0, 0, 0, x_4 - x_3) در WW است (زیرا سه مولفه اول آن صفر و برابرند). ۳. حاصل‌جمع آنها دقیقاً برابر است با:

(x1+0,x1+0,x3+0,x3+x4−x3)=(x1,x1,x3,x4)(x_1 + 0, x_1 + 0, x_3 + 0, x_3 + x_4 - x_3) = (x_1, x_1, x_3, x_4)

بنابراین هر بردار با دو مولفه اول مساوی، در U+WU + W قرار دارد:

{(x1,x1,x3,x4)∈F4:x1,x3,x4∈F}⊆U+W(∗∗)\{(x_1, x_1, x_3, x_4) \in \mathbb{F}^4 : x_1, x_3, x_4 \in \mathbb{F}\} \subseteq U + W \quad (**)

نتیجه نهایی: از ترکیب (∗)(*) و (∗∗)(**) به دست می‌آید:

U+W={(x1,x1,x3,x4)∈F4:x1,x3,x4∈F}■U + W = \{(x_1, x_1, x_3, x_4) \in \mathbb{F}^4 : x_1, x_3, x_4 \in \mathbb{F}\} \quad \blacksquare

۴. تجسم هندسی سه‌بعدی جئوجبرا (جمع دو محور مختصات = صفحه xyxy)

جمع دو زیرفضای یک‌بعدی (محور x و محور y) صفحه دو‌بعدی xy را در فضا می‌سازد
  • محور x زیرفضای U و محور y زیرفضای W است.
  • هر ترکیب خطی از بردارهای روی این دو محور درون صفحه z=0 (صفحه XYPlane) باقی می‌ماند.
  • صفحه خاکستری‌رنگ z=0 همان جمع U + W است.
کد اصلی رسم
appName: 3d
width: 700
height: 450
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "O = (0, 0, 0)"
  - "Pt1 = (1, 0, 0)"
  - "XAxisLine : Line(O, Pt1)"
  - "Pt2 = (0, 1, 0)"
  - "YAxisLine : Line(O, Pt2)"
  - "XYPlane: z = 0"
  - "Pt3 = (2, 0, 0)"
  - "u : Vector(O, Pt3)"
  - "Pt4 = (0, 3, 0)"
  - "w : Vector(O, Pt4)"
  - "sum = u + w"
caption: "جمع دو زیرفضای یک‌بعدی (محور x و محور y) صفحه دو‌بعدی xy را در فضا می‌سازد"
explain:
  - "محور x زیرفضای U و محور y زیرفضای W است."
  - "هر ترکیب خطی از بردارهای روی این دو محور درون صفحه z=0 (صفحه XYPlane) باقی می‌ماند."
  - "صفحه خاکستری‌رنگ z=0 همان جمع U + W است."

۵. پیوندهای اتمیک

پیوندهای این یادداشت ۶

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • تعریف ۳۶.۱ جمع زیرفضاها
    پیش‌نمایش

    تعریف ۳۶.۱: جمع زیرفضاها (Sum of Subspaces)

    چکیده مفهومی

    چون «اجتماع» دو زیرفضا معمولاً زیرفضا نمی‌شود، جبر خطی مفهوم جمع زیرفضاها را تعریف می‌کند: تمام بردارهایی که می‌توان با جمع زدن یک بردار از زیرفضای اول و یک بردار از زیرفضای دوم ساخت. جمع زیرفضاها معادل خطیِ «اجتماع» در نظریه مجموعه‌ها است.

  • تعریف ۳۹.۱ جمع مستقیم (Direct Sum)
    پیش‌نمایش

    تعریف ۳۹.۱: جمع مستقیم (Direct Sum)

    چکیده مفهومی

    جمع مستقیم، کامل‌ترین و تمیزترین حالت جمع چند زیرفضا است؛ حالتی که در آن هیچ‌گونه همپوشانی و اتلاف بُعد وجود ندارد و هر بردار فضا را می‌توان دقیقاً و فقط به یک شیوه یکتا به صورت مجموع عناصری از آن زیرفضاها تجزیه کرد. نماد آن ⊕\oplus (علامت جمع احاطه‌شده با دایره) است.

  • مثال ۳۳.۱ زیرفضاهای R2 و R3
    پیش‌نمایش

    مثال ۳۳.۱: زیرفضاهای R2\mathbb{R}^2 و R3\mathbb{R}^3

    هندسه کامل زیرفضاها در ابعاد ۲ و ۳

    در دنیای هندسی اقلیدسی، زیرفضاها تنها و تنها اشیای مسطحی هستند که از مبدا مختصات عبور می‌کنند:

    • در R2\mathbb{R}^2: فقط نقطه مبدا، خطوط راست گذرنده از مبدا، و کل صفحه R2\mathbb{R}^2.
    • در R3\mathbb{R}^3: فقط نقطه مبدا، خطوط راست گذرنده از مبدا، صفحات تخت گذرنده از مبدا، و کل فضا R3\mathbb{R}^3.
  • قضیه ۳۸.۱ جمع زیرفضاها کوچکترین زیرفضای شامل آنهاست
    پیش‌نمایش

    قضیه ۳۸.۱: جمع زیرفضاها کوچکترین زیرفضای شامل آنهاست

    پیام کلیدی قضیه در یک جمله

    حاصل‌جمع چند زیرفضا V1+⋯+VmV_1 + \dots + V_m، خودش همیشه یک زیرفضای معتبر است و دقیقاً کوچکترین زیرفضایی است که تمام این زیرفضاها را در بر می‌گیرد؛ به این معنا که هر زیرفضای دیگری که شامل همه آنها باشد، ناچار است شامل جمع آنها نیز باشد.

  • مثال ۴۰.۱ جمع مستقیم در R3
    پیش‌نمایش

    مثال ۴۰.۱: جمع مستقیم در R3\mathbb{R}^3 و Fn\mathbb{F}^n

    مصادیق عینی جمع مستقیم و پاتولوژی همپوشانی

    با بررسی هندسی صفحات و خطوط در R3\mathbb{R}^3 می‌بینیم که جمع یک صفحه و یک خط غیرهم‌صفحه چگونه فضای سه‌بعدی را به صورت مستقیم (⊕\oplus) تجزیه می‌کند؛ و چگونه اضافه کردن یک زیرفضای اضافی حتی اگر دوبه‌دو اشتراک صفر داشته باشند، خاصیت جمع مستقیم را نابود می‌کند.

نمایش ۱ مورد دیگرنمایش کمتر
  • MOC فصل ۱ - فضاهای برداری
    پیش‌نمایش

    📘 نقشه راه فصل اول: فضاهای برداری (Vector Spaces)

    ستون فقرات جبر خطی

    فصل اول آکسلر مفهوم «بردار» را از پیکان‌های فیزیکی دبیرستان آزاد کرده و به یک ساختار جبری فراگیر تبدیل می‌کند. این فصل به سه بخش اصلی تقسیم می‌شود: ۱. بخش ۱.۱ (Rn\mathbb{R}^n و Cn\mathbb{C}^n): ساختن زمینه اسکالرها و فضاهای مختصاتی. ۲. بخش ۲.۱ (فضای برداری): تعریف اصل موضوعی و خواص بنیادین. ۳. بخش ۳.۱ (زیرفضاها و جمع مستقیم): نحوه تجزیه فضاها به بخش‌های ساده‌تر.

ارجاعات به این یادداشت ۶

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

نمایش ۱ مورد دیگرنمایش کمتر

حالت ارائه