تعریف ۳۶.۱: جمع زیرفضاها (Sum of Subspaces)

۱. درک شهودی و فیزیکی/هندسی

در قضیه ۳۵.۱ دیدیم که اجتماع دو خط راست در صفحه (مانند محور $x$ها و محور $y$ها) زیرفضا نیست، زیرا جمع یک بردار از محور $x$ با یک بردار از محور $y$، برداری تولید می‌کند که خارج از هر دو محور می‌افتد (درون فضای بین آنها).

برای «ترمیم» این نقص و بستن مجموعه تحت جمع، باید تمام ترکیب‌های ممکن از این دو خط را به مجموعه اضافه کنیم:

به این ترتیب، با آزاد گذاشتن عمل جمع بین اعضای زیرفضاها، فضایی جدید و یکپارچه به دست می‌آید که صفحه دوبعدی را جاروب (Sweep) می‌کند.

۲. متن رسمی ریاضی (کتاب آکسلر)

۳. کالبدشکافی ساختار جبری

• عناصر سازنده: هر بردار $v$ در مجموعه $V_1 + \dots + V_m$ به شکل یک تجزیه جبری $v = v_1 + \dots + v_m$ نوشته می‌شود که در آن هر بخش $v_k$ سهمی از زیرفضای مربوطه $V_k$ است.
• شامل بودن تک‌تک زیرفضاها: چون هر زیرفضای $V_k$ شامل بردار صفر $\mathbf{0}$ است، با انتخاب صفر برای همه زیرفضاها به جز $V_j$، داریم: $$v_j = \mathbf{0} + \dots + v_j + \dots + \mathbf{0} \in V_1 + \dots + V_m$$ بنابراین همواره $V_j \subseteq V_1 + \dots + V_m$.
• تفاوت با اجتماع: اجتماع $V_1 \cup V_2$ فقط شامل بردارهایی است که یا در $V_1$ هستند یا در $V_2$؛ اما جمع $V_1 + V_2$ شامل برآیند آنها نیز هست: $$V_1 \cup V_2 \subseteq V_1 + V_2$$

۴. تجسم هندسی تعاملی جئوجبرا (جاروب کردن صفحه با جمع دو خط)

appName: classic
width: 700
height: 380
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "O = (0, 0)"
  - "Pt1 = (2, 1)"
  - "LineU : Line(O, Pt1)"
  - "Pt2 = (-1, 2)"
  - "LineW : Line(O, Pt2)"
  - "Pt3 = (2, 1)"
  - "u = Vector(O, Pt3)"
  - "Pt4 = (-1, 2)"
  - "w = Vector(O, Pt4)"
  - "sum = u + w"
  - "Parallelogram = Polygon((0,0), (2,1), (1,3), (-1,2))"
caption: "جمع دو زیرفضای یک‌بعدی U و W در صفحه: بردار حاصل sum تمام نقاط صفحه R2 را تولید می‌کند"
explain:
  - "خط LineU زیرفضای U و خط LineW زیرفضای W است (دو خط متقاطع در مبدا)."
  - "با تغییر اسکالرهای u و w، بردار sum = u + w می‌تواند به هر نقطه‌ای در صفحه R2 برسد."
  - "بنابراین U + W برابر کل صفحه R2 است."

۵. مقایسه بنیادین: نظریه مجموعه‌ها در برابر جبر خطی

۶. پیوندهای اتمیک

• پیش‌نیازها: تعریف ۳۱.۱ زیرفضا (Subspace) | قضیه ۳۵.۱ اشتراک زیرفضاها یک زیرفضاست
• قضایای کلیدی: قضیه ۳۸.۱ جمع زیرفضاها کوچکترین زیرفضای شامل آنهاست
• مثال‌های عددی: مثال ۳۷.۱ جمع زیرفضاها در R3
• حالت خاص (تجزیه یکتا): تعریف ۳۹.۱ جمع مستقیم (Direct Sum)
• فهرست مرجع: MOC فصل ۱ - فضاهای برداری