پیام کلیدی قضیه در یک جمله

اشتراک هر تعداد دلخواه (حتی نامتناهی یا ناشمارا) از زیرفضاها، همیشه و بدون استثنا یک زیرفضای معتبر است؛ در حالی که اجتماع زیرفضاها تقریباً هرگز زیرفضا نیست!

قضیه ۳۵.۱ (اشتراک خانواده‌ای از زیرفضاها)

فرض کنید $V$ یک فضای برداری روی میدان $\mathbb{F}$ باشد و $\{U_i\}_{i \in I}$ خانواده‌ای دلخواه از زیرفضاهای $V$ باشد (اندیس $I$ می‌تواند متناهی، نامتناهی شمارا یا ناشمارا باشد). در این صورت، اشتراک آنها:

$$W = \bigcap_{i \in I} U_i$$

یک زیرفضای $V$ است.

اثبات کامل قضیه ۳۵.۱

فرض کنید $W = \bigcap_{i \in I} U_i$.

گام اول: وجود عضو همانی جمعی ($\mathbf{0} \in W$) چون برای هر $i \in I$، مجموعه $U_i$ یک زیرفضای $V$ است، طبق شرط اول زیرفضا داریم:

$$\forall i \in I: \quad \mathbf{0} \in U_i$$

از آنجا که بردار صفر در تک‌تک مجموعه‌های این خانواده حضور دارد، بنا به تعریف اشتراک مجموعه‌ها:

$$\mathbf{0} \in \bigcap_{i \in I} U_i = W$$

گام دوم: بسته بودن تحت جمع فرض کنید $u, w \in W$ دو بردار دلخواه باشند. طبق تعریف اشتراک:

$$u, w \in W \implies \forall i \in I: (u \in U_i \text{ و } w \in U_i)$$

اما چون هر $U_i$ یک زیرفضا است، تحت جمع بسته است:

$$\forall i \in I: u + w \in U_i$$

بنابراین بردار $u + w$ در تک‌تک $U_i$ها قرار دارد؛ پس در اشتراک آنها نیز قرار می‌گیرد:

$$u + w \in \bigcap_{i \in I} U_i = W$$

گام سوم: بسته بودن تحت ضرب اسکالر فرض کنید $c \in \mathbb{F}$ یک اسکالر دلخواه و $u \in W$ باشد. طبق تعریف اشتراک:

$$u \in W \implies \forall i \in I: u \in U_i$$

چون هر $U_i$ یک زیرفضا است، تحت ضرب اسکالر بسته است:

$$\forall i \in I: cu \in U_i$$

از این رو $cu$ به تک‌تک $U_i$ها تعلق دارد و در نتیجه در اشتراک آنها قرار دارد:

$$cu \in \bigcap_{i \in I} U_i = W$$

نتیجه‌گیری: هر سه شرط قضیه ۳۲.۱ برقرارند. بنابراین $W = \bigcap_{i \in I} U_i$ یک زیرفضای $V$ است. $\blacksquare$

دام امتحانی بزرگ: فاجعه اجتماع زیرفضاها

اگر $U_1$ و $U_2$ زیرفضا باشند، اجتماع آنها $U_1 \cup U_2$ تقریباً هرگز زیرفضا نیست!

مثال نقض قطعی در $\mathbb{R}^2$: محور $x$ها را $U_1 = \{(x, 0) : x \in \mathbb{R}\}$ و محور $y$ها را $U_2 = \{(0, y) : y \in \mathbb{R}\}$ در نظر بگیرید. هر دو زیرفضای معتبر هستند.

• اجتماع $U_1 \cup U_2$ علامت مثبت روی صفحه تشکیل می‌دهد (چلیپا).
• بردار $(1, 0) \in U_1 \subseteq U_1 \cup U_2$
• بردار $(0, 1) \in U_2 \subseteq U_1 \cup U_2$
• اما حاصل‌جمع آنها: $$(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$$ نه روی محور $x$ است و نه روی محور $y$؛ پس $(1, 1) \notin U_1 \cup U_2$!
• بسته بودن تحت جمع نقض شد!

قضیه تمرین ۱۲ فصل ۱ آکسلر

اجتماع دو زیرفضا $U_1 \cup U_2$ یک زیرفضا است اگر و تنها اگر یکی از آنها درون دیگری محاط باشد ($U_1 \subseteq U_2$ یا $U_2 \subseteq U_1$). همین شکست بنیادین اجتماع باعث شد ریاضی‌دانان به جای آن، مفهوم حیاتی جمع زیرفضاها را اختراع کنند!