فرض کنید $V_1$ و $V_2$ زیرفضاهایی از $V$ هستند. ثابت کنید که اشتراک $V_1 \cap V_2$ یک زیرفضا از $V$ است.

گام اول: بررسی عضو همانی جمعی (وجود بردار صفر) چون $V_1$ یک زیرفضای $V$ است، طبق شرط اول زیرفضا داریم:

به طور مشابه، چون $V_2$ یک زیرفضای $V$ است، داریم:

بردار صفر در هر دو مجموعه حضور دارد؛ بنابراین طبق تعریف اشتراک:

گام دوم: بسته بودن تحت عمل جمع فرض کنید $u, w \in V_1 \cap V_2$ دو بردار دلخواه باشند. طبق تعریف اشتراک دو مجموعه:

حال از زیرفضا بودن $V_1$ و $V_2$ استفاده می‌کنیم:

• چون $V_1$ زیرفضا است، تحت جمع بسته است: $u + w \in V_1$.
• چون $V_2$ زیرفضا است، تحت جمع بسته است: $u + w \in V_2$. بردار $u + w$ متعلق به هر دو زیرفضا است، پس در اشتراک آنها قرار دارد: $$u + w \in V_1 \cap V_2$$

گام سوم: بسته بودن تحت ضرب اسکالر فرض کنید $c \in \mathbb{F}$ یک اسکالر دلخواه و $u \in V_1 \cap V_2$ باشد. طبق تعریف اشتراک:

مجدداً از ویژگی زیرفضا بودن استفاده می‌کنیم:

• چون $V_1$ زیرفضا است، تحت ضرب اسکالر بسته است: $cu \in V_1$.
• چون $V_2$ زیرفضا است، تحت ضرب اسکالر بسته است: $cu \in V_2$. بنابراین بردار $cu$ به هر دو مجموعه تعلق داشته و در اشتراک قرار دارد: $$cu \in V_1 \cap V_2$$

نتیجه‌گیری: هر سه شرط قضیه ۳۲.۱ آکسلر برقرار هستند. بنابراین $V_1 \cap V_2$ یک زیرفضا از $V$ است. $\blacksquare$

• هرگز نباید اشتراک ($\cap$) را با اجتماع ($\cup$) اشتباه گرفت؛ اشتراک زیرفضاها همواره زیرفضاست، اما اجتماع آن‌ها تقریباً هرگز زیرفضا نمی‌شود (مگر یکی مشمول در دیگری باشد؛ تمرین ۱۲).