برای بررسی اینکه آیا یک زیرمجموعه یک زیرفضاست یا خیر، لازم نیست تمام ۱۰ اصل موضوعه فضای برداری را چک کنید؛ فقط کافی است سه شرط را بسنجید: داشتن بردار صفر، بسته بودن نسبت به جمع، و بسته بودن نسبت به ضرب اسکالر.

فرض کنید $V$ یک فضای برداری روی میدان $\mathbb{F}$ باشد و $U \subseteq V$ یک زیرمجموعه از آن. $U$ یک زیرفضای $V$ است اگر و تنها اگر سه شرط زیر برقرار باشند:

۱. همانی جمعی (وجود بردار صفر):

۲. بسته بودن تحت جمع:

۳. بسته بودن تحت ضرب اسکالر:

جهت رفت ($\implies$):

فرض کنید $U$ یک زیرفضای $V$ باشد. طبق تعریف ۳۱.۱، $U$ خود یک فضای برداری با همان عملیات و همانی جمعی $V$ است. ۱. فضای برداری طبق تعریف باید دارای عضو همانی جمعی باشد، بنابراین $\mathbf{0} \in U$. ۲. عمل جمع روی $U$ یک نگاشت $U \times U \to U$ است، بنابراین برای هر $u, w \in U$ داریم $u + w \in U$ (بسته بودن تحت جمع). ۳. عمل ضرب اسکالر نگاشتی $\mathbb{F} \times U \to U$ است، بنابراین برای هر $a \in \mathbb{F}$ و هر $u \in U$ داریم $au \in U$ (بسته بودن تحت ضرب اسکالر). اثبات این جهت کامل است.

جهت برگشت ($\impliedby$):

فرض کنید زیرمجموعه $U \subseteq V$ در سه شرط (۱)، (۲) و (۳) صدق کند. باید نشان دهیم $U$ یک فضای برداری روی $\mathbb{F}$ است:

گام اول: تعریف عملیات روی $U$

• شرط (۲) تضمین می‌کند که جمع روی عناصر $U$ خوش‌تعریف است و عمل جمع از $U$ بیرون نمی‌زند.
• شرط (۳) تضمین می‌کند که ضرب هر اسکالر در هر عنصر $U$ خوش‌تعریف است و در $U$ باقی می‌ماند.

گام دوم: وجود عضو همانی جمعی

• شرط (۱) مستقیماً تضمین می‌کند که $\mathbf{0} \in U$. چون این بردار، همانی جمعی در کل فضای $V$ است، برای هر $u \in U \subseteq V$ داریم: $$u + \mathbf{0} = u$$ پس $U$ دارای عضو همانی جمعی است.

گام سوم: وجود وارون جمعی برای هر عضو $U$ فرض کنید $u \in U$ دلخواه باشد. چون میدان $\mathbb{F}$ شامل عدد $-1$ است، بنا به شرط (۳) با انتخاب $a = -1$ داریم:

طبق قضیه قبلی کتاب آکسلر (قضیه ضرب عدد منفی یک) می‌دانیم:

بنابراین $-u \in U$ است؛ یعنی هر عضو $U$ وارون جمعی خود را نیز درون $U$ به همراه دارد.

گام چهارم: درستی سایر اصول موضوعه (اصول میراثی) برای تمام $u, v, w \in U$ و اسکالرهای $a, b \in \mathbb{F}$:

• جابه‌جایی: $u + v = v + u$
• شرکت‌پذیری جمع: $(u + v) + w = u + (v + w)$
• توزیع‌پذیری اسکالر روی بردار: $a(u + v) = au + av$
• توزیع‌پذیری بردار روی اسکالر: $(a + b)u = au + bu$
• شرکت‌پذیری ضرب: $(ab)u = a(bu)$
• عضو خنثی ضرب: $1u = u$

این تساوی‌ها برای تمام اعضای جهان بزرگتر $V$ برقرارند. چون عناصر $U$ اعضایی از $V$ هستند، این روابط به طور خودکار در $U$ نیز برقرارند.

نتیجه نهایی: مجموعه $U$ تمام شرایط فضای برداری را داراست؛ پس $U$ یک فضای برداری است و طبق تعریف، یک زیرفضا از $V$ می‌باشد. $\blacksquare$

• آیا می‌توان شرط $\mathbf{0} \in U$ را با $U \neq \emptyset$ جایگزین کرد؟ بله! اگر بدانیم $U$ ناتهی است، پس حداقل یک عنصر مانند $u \in U$ دارد. طبق شرط ضرب اسکالر با اسکالر $0 \in \mathbb{F}$ داریم $0 \cdot u = \mathbf{0} \in U$. بنابراین ناتهی بودن به همراه بسته بودن ضرب اسکالر، وجود صفر را تضمین می‌کند.
• تست فوری رد کردن (Fast Rejection Test): در کنکور و امتحانات، برای اثبات اینکه مجموعه‌ای زیرفضا نیست، ابتدا چک کنید آیا بردار صفر در آن هست یا خیر. اگر $\mathbf{0} \notin U$، بدون هیچ محاسبه اضافی بلافاصله حکم کنید که زیرفضا نیست!