1. (الف) آیا $U = \{(a, b, c) \in \mathbb{R}^3 : a^3 = b^3\}$ یک زیرفضا از $\mathbb{R}^3$ است؟
2. (ب) آیا $W = \{(a, b, c) \in \mathbb{C}^3 : a^3 = b^3\}$ یک زیرفضا از $\mathbb{C}^3$ است؟

بخش (الف): بررسی در فضای حقیقی $\mathbb{R}^3$

پاسخ: بله، $U$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^3$ است.

گام اول: ساده‌سازی شرط جبری در $\mathbb{R}$ برای هر $a, b \in \mathbb{R}$:

عبارت $a^2 + ab + b^2 = \left(a + \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2$ تنها زمانی صفر است که $a = b = 0$. در نتیجه، در اعداد حقیقی همواره داریم:

پس مجموعه $U$ دقیقاً همان صفحه زیر است:

گام دوم: بررسی شرایط سه‌گانه ۱. عضو صفر: $0 - 0 = 0 \implies (0, 0, 0) \in U$. ۲. بسته بودن جمع: اگر $u = (a_1, a_1, c_1) \in U$ و $v = (a_2, a_2, c_2) \in U$، آنگاه:

دو مؤلفه اول با هم برابرند، پس $u + v \in U$. ۳. بسته بودن ضرب اسکالر: برای هر $k \in \mathbb{R}$:

دو مؤلفه اول برابرند، پس $ku \in U$. بنابراین $U$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^3$ است.

بخش (ب): بررسی در فضای مختصات مختلط $\mathbb{C}^3$

پاسخ: خیر، $W$ زیرفضای $\mathbb{C}^3$ نیست.

گام اول: تحلیل ریشه‌های سوم واحد در $\mathbb{C}$ عدد $\omega = e^{i \frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ را در نظر بگیرید. می‌دانیم $\omega^3 = 1$ و $\omega \neq 1$. معادله $a^3 = b^3$ در اعداد مختلط دارای سه دسته جواب است:

گام دوم: ارائه مثال نقض برای بسته بودن تحت جمع دو بردار زیر را انتخاب می‌کنیم:

• بردار اول: $u = (1, 1, 0) \in \mathbb{C}^3$. چون $1^3 = 1^3 = 1$، داریم $u \in W$.
• بردار دوم: $v = (\omega, 1, 0) \in \mathbb{C}^3$. چون $(\omega)^3 = 1$ و $1^3 = 1$، پس $(\omega)^3 = 1^3$ و در نتیجه $v \in W$.

حال مجموع این دو بردار را محاسبه می‌کنیم:

بررسی می‌کنیم آیا مؤلفه اول به توان ۳ برابر مؤلفه دوم به توان ۳ است؟

• مؤلفه اول: $$1 + \omega = 1 + \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i \frac{\pi}{3}}$$ مکعب آن: $$(1 + \omega)^3 = \left(e^{i \frac{\pi}{3}}\right)^3 = e^{i\pi} = -1$$
• مؤلفه دوم: $$2^3 = 8$$ واضح است که: $$-1 \neq 8 \implies (1 + \omega)^3 \neq 2^3$$ بنابراین بردار مجموع $u + v \notin W$. چون $W$ تحت جمع بسته نیست، یک زیرفضا از $\mathbb{C}^3$ نیست. $\blacksquare$

• این یکی از زیباترین و پرتکرارترین سوالات آزمون‌های کارشناسی ارشد و دکتری است؛ تفاوت رفتار درجه سه در $\mathbb{R}$ (که یک‌به‌یک است) با $\mathbb{C}$ (که چندریشه‌ای است) تفاوت بین یک زیرفضا و اجتماع چند زیرفضا را رقم می‌زند.