تمام ادعاهای مربوط به زیرفضاها را در مثال ۳۵.۱ (مثال ۳۴.۱ در یادداشت‌ها) تأیید کنید:

1. $U = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{F}^4 : x_3 = 5x_4 + b\}$ یک زیرفضای $\mathbb{F}^4$ است اگر و تنها اگر $b = 0$.
2. مجموعه توابع پیوسته حقیقی‌مقدار روی بازه $[0, 1]$، یعنی $C[0, 1]$، یک زیرفضای $\mathbb{R}^{[0, 1]}$ است.
3. مجموعه توابع مشتق‌پذیر حقیقی‌مقدار روی $\mathbb{R}$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ است.
4. مجموعه توابع مشتق‌پذیر حقیقی‌مقدار $f$ روی $(0, 3)$ با شرط $f'(2) = b$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^{(0, 3)}$ است اگر و تنها اگر $b = 0$.
5. مجموعه دنباله‌های مختلط همگرا به صفر، یعنی $c_0 = \{(z_1, z_2, \dots) \in \mathbb{C}^\infty : \lim_{n \to \infty} z_n = 0\}$، یک زیرفضای $\mathbb{C}^\infty$ است.

ادعای اول: $U = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{F}^4 : x_3 = 5x_4 + b\}$ زیرفضاست $\iff b = 0$.

• $(\implies)$ فرض کنیم $U$ زیرفضای $\mathbb{F}^4$ باشد: طبق شرط عضو صفر، باید $(0, 0, 0, 0) \in U$ باشد. مختصات بردار صفر را در رابطه صدق می‌دهیم: $$0 = 5(0) + b \implies 0 = 0 + b \implies b = 0$$
• $(\impliedby)$ فرض کنیم $b = 0$: رابطه به صورت $x_3 - 5x_4 = 0$ درمی‌آید. ۱. بردار صفر: $0 - 5(0) = 0 \implies \mathbf{0} \in U$. ۲. جمع: اگر $x, y \in U$، آنگاه $(x_3 - 5x_4) = 0$ و $(y_3 - 5y_4) = 0$. برای $x + y$: $$(x_3 + y_3) - 5(x_4 + y_4) = (x_3 - 5x_4) + (y_3 - 5y_4) = 0 + 0 = 0 \implies x + y \in U$$ ۳. ضرب اسکالر: برای هر $c \in \mathbb{F}$ و $x \in U$: $$(cx_3) - 5(cx_4) = c(x_3 - 5x_4) = c(0) = 0 \implies cx \in U$$ بنابراین $U$ زیرفضاست اگر و تنها اگر $b = 0$.

ادعای دوم: فضای $C[0, 1]$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^{[0, 1]}$ است.

۱. تابع صفر: تابع ثابت صفر $z(x) = 0$ روی $[0, 1]$ پیوسته است؛ بنابراین $z \in C[0, 1]$. ۲. بسته بودن جمع: اگر $f, g \in C[0, 1]$ باشند، طبق قضیه مجموع توابع پیوسته در آنالیز، تابع $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ روی $[0, 1]$ پیوسته است؛ بنابراین $f + g \in C[0, 1]$. ۳. بسته بودن ضرب اسکالر: اگر $c \in \mathbb{R}$ و $f \in C[0, 1]$، تابع $(cf)(x) = c f(x)$ پیوسته است؛ بنابراین $cf \in C[0, 1]$. بنابراین $C[0, 1]$ یک زیرفضا است.

ادعای سوم: توابع مشتق‌پذیر روی $\mathbb{R}$ یک زیرفضای $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ است.

۱. تابع صفر: تابع صفر در همه نقاط مشتق‌پذیر است و $z'(x) = 0$. ۲. بسته بودن جمع: اگر $f, g$ مشتق‌پذیر باشند، طبق قاعده جمع مشتق:

چون مشتق در هر نقطه وجود دارد، $f + g$ مشتق‌پذیر است. ۳. بسته بودن ضرب اسکالر: برای هر $c \in \mathbb{R}$:

مشتق موجود است، پس $cf$ مشتق‌پذیر است. در نتیجه این مجموعه زیرفضا است.

ادعای چهارم: توابع با شرط $f'(2) = b$ روی $(0, 3)$ زیرفضاست $\iff b = 0$.

• $(\implies)$ اگر مجموعه زیرفضا باشد، تابع صفر $z(x) = 0$ باید در آن باشد. مشتق تابع صفر همواره صفر است: $z'(x) = 0 \implies z'(2) = 0$. از طرفی شرط عضویت ایجاب می‌کند $z'(2) = b$؛ بنابراین $b = 0$.
• $(\impliedby)$ اگر $b = 0$: شرط عضویت $f'(2) = 0$ است. ۱. تابع صفر صدق می‌کند: $z'(2) = 0$. ۲. جمع: $(f + g)'(2) = f'(2) + g'(2) = 0 + 0 = 0 \implies f + g$ در مجموعه است. ۳. ضرب اسکالر: $(cf)'(2) = c f'(2) = c \cdot 0 = 0 \implies cf$ در مجموعه است. بنابراین مجموعه زیرفضاست اگر و تنها اگر $b = 0$.

ادعای پنجم: مجموعه $c_0$ از دنباله‌های با حد صفر، زیرفضای $\mathbb{C}^\infty$ است.

۱. عضو صفر: دنباله همواره صفر $\mathbf{0} = (0, 0, 0, \dots)$ دارای حد $\lim_{n \to \infty} 0 = 0$ است، پس $\mathbf{0} \in c_0$. ۲. بسته بودن جمع: فرض کنید $a = (a_n) \in c_0$ و $b = (b_n) \in c_0$. این یعنی $\lim a_n = 0$ و $\lim b_n = 0$. طبق قضایای حد در آنالیز:

بنابراین $a + b \in c_0$. ۳. بسته بودن ضرب اسکالر: برای هر $c \in \mathbb{C}$:

بنابراین $ca \in c_0$. در نتیجه $c_0$ یک زیرفضای $\mathbb{C}^\infty$ است. $\blacksquare$

• تفاوت عملگر خطی با نامعادلات: شرایطی مثل مشتق، انتگرال و حد همگی عملگرهای خطی هستند. اعمال یک عملگر خطی برابر با صفر همواره یک زیرفضا (هسته عملگر) تولید می‌کند؛ اما اعمال عملگر برابر با یک مقدار ناصفر $b \neq 0$ هرگز شامل صفر نبوده و زیرفضا نمی‌شود.