مثالی از یک زیرمجموعه‌ی ناتهی $U$ از $\mathbb{R}^2$ بیاورید به طوری که $U$ تحت ضرب اسکالر بسته باشد، اما $U$ یک زیرفضا از $\mathbb{R}^2$ نباشد.

گام اول: تعریف مجموعه مجموعه $U$ را اجتماع دو محور مختصات $x$ و $y$ در $\mathbb{R}^2$ تعریف می‌کنیم:

گام دوم: بررسی ناتهی بودن بردار صفر $(0, 0) \in U$ است، بنابراین $U \neq \emptyset$.

گام سوم: اثبات بسته بودن تحت ضرب اسکالر فرض کنید $u = (x, y) \in U$ و $c \in \mathbb{R}$ یک اسکالر دلخواه باشد. طبق تعریف $U$، داریم $xy = 0$ (یعنی حداقل یکی از مؤلفه‌ها صفر است). بردار ضرب اسکالر برابر است با $cu = (cx, cy)$. حاصل‌ضرب مؤلفه‌های آن را حساب می‌کنیم:

بنابراین بردار $cu$ نیز در شرط صدق می‌کند و $cu \in U$. این نشان می‌دهد که $U$ تحت ضرب اسکالر کاملاً بسته است.

گام چهارم: اثبات زیرفضا نبودن (شکست بستگی تحت جمع) دو بردار زیر را انتخاب می‌کنیم که هر دو عضو $U$ هستند:

حال حاصل‌جمع این دو بردار را محاسبه می‌کنیم:

آیا $(1, 1) \in U$ است؟ حاصل‌ضرب مؤلفه‌ها: $1 \cdot 1 = 1 \neq 0$. بنابراین:

نتیجه‌گیری: مجموعه $U$ تحت جمع بسته نیست، بنابراین یک زیرفضای $\mathbb{R}^2$ نمی‌باشد. این مجموعه دقیقاً ویژگی‌های خواسته شده را داراست. $\blacksquare$

• توجه به استقلال شروط سه‌گانه: این تمرین و تمرین ۷ نشان می‌دهند که شروط «بستگی تحت جمع» و «بستگی تحت ضرب اسکالر» از نظر منطقی کاملاً مستقل از یکدیگرند؛ برقراری یکی هرگز دیگری را تضمین نمی‌کند.